Utilizando o método da falsa posição, determine a raiz da função
, considerando o intervalo
, com
:
i
a
x
b
1
2
3
4
5
| i | a | x | b |
|
|
|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 |
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O intervalo inicial
, ou seja e . - A tolerância
.
O que se pede: - Aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a raiz em
até que a aproximação satisfaça a tolerância dada, e preencher a tabela com as iterações (cinco linhas solicitadas).
Passo 2
Breve explicação do método (didática passo a passo).
- A falsa posição é um método de busca de raiz que, em cada iteração, toma o segmento
onde e têm sinais opostos e substitui esse segmento por um subsegmento mais curto que ainda contenha a raiz. - Em cada iteração calcula-se o ponto de interseção da reta que passa por
e com o eixo . Esse ponto é
- Depois avalia-se
. Se (ou ) então é a raiz aproximada. Senão escolhe-se o novo intervalo: se mantém-se e substitui-se por ; se mantém-se e substitui-se por . - Critério de parada usado aqui:
(é um critério direto e simples de aplicar sem depender de diferenças entre iterações).
Agora aplicamos o método com calma, mostrando todas as contas necessárias para preencher a tabela.
Passo 3
Iteração 1:
- Valores iniciais:
, . - Avaliações iniciais:
- Calcula-se
pela fórmula da falsa posição: - Avalia-se
: - Como
e , o novo intervalo contém a raiz entre e . Portanto atualiza-se , .
Resultado para a linha 1 da tabela:
-
: , , , , , .
Passo 4
Iteração 2:
- Agora
, . - Usando
e , calcula-se - Fazendo as contas (ou usando frações exatas) obtém-se a forma racional
- Avalia-se
: - Sinal de
é negativo; como a raiz fica entre e . Atualiza-se , .
Resultado para a linha 2:
-
: , , , , , .
Passo 5
Iteração 3:
-
, , , . - Calcula-se
- Fazendo as contas obtemos aproximadamente
- Avaliação:
- Ainda
, portanto a raiz está entre e . Atualiza-se , .
Resultado para a linha 3:
-
: , , , , , .
Passo 6
Iteração 4:
-
, , , . - Calcula-se
- Executando as operações obtemos
- Avalia-se
- Ainda negativo, porém já muito pequeno em magnitude; a raiz permanece entre
e . Atualiza-se , .
Resultado para a linha 4:
-
: , , , , , .
Passo 7
Iteração 5:
-
, , , . - Calcula-se
- Fazendo as contas obtemos
- Avaliação:
cujo valor absoluto é menor que . Portanto atingiu-se a tolerância e pode-se parar.
Resultado para a linha 5:
-
: , , , , , .