Utilizando o método da falsa posição, determine a raiz da função f(x)=x^{3}-5, considerando o intervalo [1: 2], com \varepsilon=10^{-5} :
i a x b \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{f}(\mathrm{a}) \mathrm{f}(\mathrm{b})
1
2
3
4
5

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \,f(x)=x^{3}-5\,.
  • O intervalo inicial \,[1:2]\,, ou seja \,a_{0}=1 e \,b_{0}=2.
  • A tolerância \,\varepsilon=10^{-5}.
    O que se pede:
  • Aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a raiz em [1,2] até que a aproximação satisfaça a tolerância dada, e preencher a tabela com as iterações (cinco linhas solicitadas).

Passo 2

Breve explicação do método (didática passo a passo).
  • A falsa posição é um método de busca de raiz que, em cada iteração, toma o segmento [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos e substitui esse segmento por um subsegmento mais curto que ainda contenha a raiz.
  • Em cada iteração calcula-se o ponto de interseção da reta que passa por \,(a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Esse ponto é
x=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Depois avalia-se f(x). Se f(x)=0 (ou |f(x)|<\varepsilon) então x é a raiz aproximada. Senão escolhe-se o novo intervalo: se f(a)\cdot f(x)<0 mantém-se b e substitui-se a por x; se f(x)\cdot f(b)<0 mantém-se a e substitui-se b por x.
  • Critério de parada usado aqui: |f(x)|<\varepsilon (é um critério direto e simples de aplicar sem depender de diferenças entre iterações).
Agora aplicamos o método com calma, mostrando todas as contas necessárias para preencher a tabela.

Passo 3

Iteração 1:
  • Valores iniciais: a_{0}=1, b_{0}=2.
  • Avaliações iniciais: f(a_{0})=f(1)=1^{3}-5=-4, \qquad f(b_{0})=f(2)=2^{3}-5=3.
  • Calcula-se x_{1} pela fórmula da falsa posição: x_{1}=\frac{1\cdot 3 - 2\cdot(-4)}{3-(-4)}=\frac{3+8}{7}=\frac{11}{7}\approx 1,5714285714.
  • Avalia-se f(x_{1}): f(x_{1})=\left(\frac{11}{7}\right)^{3}-5=\frac{1331}{343}-5=\frac{1331-1715}{343}=-\frac{384}{343}\approx -1,1195299159.
  • Como f(x_{1})<0 e f(b_{0})>0, o novo intervalo contém a raiz entre x_{1} e b_{0}. Portanto atualiza-se a_{1}=x_{1}, b_{1}=b_{0}.
Resultado para a linha 1 da tabela:
  • i=1: a=1, x=\tfrac{11}{7}\approx1,5714285714, b=2, f(x)\approx-1,1195299159, f(a)=-4, f(b)=3.

Passo 4

Iteração 2:
  • Agora a_{1}=\tfrac{11}{7}\approx1,5714285714, b_{1}=2.
  • Usando f(a_{1})\approx-1,1195299159 e f(b_{1})=3, calcula-se x_{2}=\frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} =\frac{1,5714285714\cdot 3 - 2\cdot(-1,1195299159)}{3-(-1,1195299159)}.
  • Fazendo as contas (ou usando frações exatas) obtém-se a forma racional x_{2}=\frac{265}{157}\approx 1,6872611465.
  • Avalia-se f(x_{2}): f(x_{2})=\left(\frac{265}{157}\right)^{3}-5\approx -0,1910990840.
  • Sinal de f(x_{2}) é negativo; como f(b_{1})>0 a raiz fica entre x_{2} e b_{1}. Atualiza-se a_{2}=x_{2}, b_{2}=b_{1}.
Resultado para a linha 2:
  • i=2: a\approx1,5714285714, x=\tfrac{265}{157}\approx1,6872611465, b=2, f(x)\approx-0,1910990840, f(a)\approx-1,1195299159, f(b)=3.

Passo 5

Iteração 3:
  • a_{2}\approx1,6872611465, b_{2}=2, f(a_{2})\approx-0,1910990840, f(b_{2})=3.
  • Calcula-se x_{3}=\frac{a_{2}f(b_{2})-b_{2}f(a_{2})}{f(b_{2})-f(a_{2})} =\frac{1,6872611465\cdot 3 - 2\cdot(-0,1910990840)}{3-(-0,1910990840)}.
  • Fazendo as contas obtemos aproximadamente x_{3}\approx 1,7061637320.
  • Avaliação: f(x_{3})\approx (1,7061637320)^{3}-5\approx -0,0333661640.
  • Ainda f(x_{3})<0, portanto a raiz está entre x_{3} e b_{2}. Atualiza-se a_{3}=x_{3}, b_{3}=2.
Resultado para a linha 3:
  • i=3: a\approx1,6872611465, x\approx1,7061637320, b=2, f(x)\approx-0,0333661640, f(a)\approx-0,1910990840, f(b)=3.

Passo 6

Iteração 4:
  • a_{3}\approx1,7061637320, b_{3}=2, f(a_{3})\approx-0,0333661640, f(b_{3})=3.
  • Calcula-se x_{4}=\frac{a_{3}\cdot 3 - 2\cdot f(a_{3})}{3-f(a_{3})} =\frac{1,7061637320\cdot 3 - 2\cdot(-0,0333661640)}{3-(-0,0333661640)}.
  • Executando as operações obtemos x_{4}\approx 1,7098942420.
  • Avalia-se f(x_{4})\approx (1,7098942420)^{3}-5\approx -0,0007037390.
  • Ainda negativo, porém já muito pequeno em magnitude; a raiz permanece entre x_{4} e b_{3}. Atualiza-se a_{4}=x_{4}, b_{4}=2.
Resultado para a linha 4:
  • i=4: a\approx1,7061637320, x\approx1,7098942420, b=2, f(x)\approx-0,0007037390, f(a)\approx-0,0333661640, f(b)=3.

Passo 7

Iteração 5:
  • a_{4}\approx1,7098942420, b_{4}=2, f(a_{4})\approx-0,0007037390, f(b_{4})=3.
  • Calcula-se x_{5}=\frac{a_{4}\cdot 3 - 2\cdot f(a_{4})}{3-f(a_{4})} =\frac{1,7098942420\cdot 3 - 2\cdot(-0,0007037390)}{3-(-0,0007037390)}.
  • Fazendo as contas obtemos x_{5}\approx 1,7099759467.
  • Avaliação: f(x_{5})\approx (1,7099759467)^{3}-5\approx -5{,}3\times 10^{-7},cujo valor absoluto é menor que \varepsilon=10^{-5}. Portanto atingiu-se a tolerância e pode-se parar.
Resultado para a linha 5:
  • i=5: a\approx1,7098942420, x\approx1,7099759467, b=2, f(x)\approx-0,00000053, f(a)\approx-0,0007037390, f(b)=3.

Resposta

x\approx 1,7099759467

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