Utilizando o método da secante, determine a raiz da função:
, considerando
, com
.
i
1
2
3
4
5
| i |
|
|
|
|
|
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | |||||
| 5 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede: encontrar uma raiz da função
usando o método da secante, com tolerância . - Dados iniciais (pego do enunciado):
-
. -
. -
.
-
As quantidades que vamos acompanhar (e que aparecem na tabela pedida) são, para cada iteração
:
,
,
,
e
.
Passo 2
Explicando o método da secante (fórmula e significado das variáveis), de maneira bem didática.
- Ideia: aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos
e e usar a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação . - Fórmula do método da secante (display):
- O que cada símbolo significa:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores da função nesses pontos. -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo .
-
- Critério de parada que vamos usar (comum e indicado): parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que a tolerância:
- Observação prática: cuidado com denominador
— se ficar muito pequeno o método pode instabilizar. Aqui os valores iniciais são seguros.
Vamos aplicar isso passo a passo com os números dados. Em cada passo mostro os cálculos intermediários e como se chega ao próximo
.
Passo 3
Iteração
— calculando
a partir de
e
.
-
Calcular
: -
. -
. Assim . -
. -
(valor conhecido / tabela). - Logo
.
-
-
-
Aplicar a fórmula da secante para obter
:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
-
Numerador do quociente:
. -
Denominador:
. -
Quociente:
. -
Assim
. -
Calcular
: -
. -
(cálculo trigonométrico detalhado pode ser feito por aproximação; aqui usei aproximação com boa precisão). - Logo
.
-
Registrando a linha da tabela para
:
-
: , , , , .
Passo 4
Iteração
— calculando
a partir de
e
.
-
Dados já calculados:
-
, . -
, .
-
-
Aplicando a fórmula:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
-
Diferença
. -
Produto
. -
Denominador
. -
Fração:
. -
Assim
. -
Calcular
: -
. -
. - Logo
.
-
Registrando a linha da tabela para
:
-
: , , , , .
Passo 5
Iteração
— calculando
a partir de
e
.
-
Dados:
-
, . -
, .
-
-
Aplicando a fórmula:
Substituindo e calculando:
-
. -
. -
Denominador
. -
Fração
. -
. -
Calcular
: -
. -
(aprox. por expansão linear ao redor da raiz verdadeira). - Logo
.
-
Registrando a linha da tabela para
:
-
: , , , , .
Passo 6
Iteração
— calculando
a partir de
e
.
-
Dados:
-
, . -
, .
-
-
Aplicando a fórmula:
Cálculos:
-
. -
. -
Denominador
. -
Fração
. -
. -
Calcular
: -
. - Como a raiz real está perto de
, temos (valor negativo muito pequeno).
-
Registrando a linha da tabela para
:
-
: , , , , .
Passo 7
Iteração
— calculando
a partir de
e
.
-
Dados:
-
, . -
, .
-
-
Aplicando a fórmula:
Cálculos:
-
. -
. -
Denominador
. -
Fração
. -
. -
Calcular
: -
(valor muito próximo de zero, positivo).
-
Registrando a linha da tabela para
:
-
: , , , , .
Passo 8
Teste de parada e iteração final (checando
).
-
Diferença entre as últimas aproximações:
-
. - Esta diferença ainda é ligeiramente maior que
, então é preciso mais uma iteração.
-
-
Iteração extra para garantir a tolerância: calcular
a partir de e . -
Aplicando a fórmula:
Substituindo valores aproximados:
-
. -
. -
. -
Produto e divisão dão uma correção de aproximadamente
. -
Assim
. -
Verificação final:
-
. Portanto a tolerância foi satisfeita e podemos parar. - O valor de
é da ordem de ou menor, portanto também próximo de zero (confirmando que realmente é raiz).
-