Utilizando o método da secante, determine a raiz da função: f(x)=-x+\cos (x), considerando \mathrm{x}(1)=0, \mathrm{x}(2)=0.1, com \varepsilon=10^{-5}.
i \mathrm{x}(\mathrm{i}) \mathrm{x}(\mathrm{i}+1) \mathrm{x}(\mathrm{i}+2) \mathrm{f}(\mathrm{x}(\mathrm{i})) \mathrm{f}(\mathrm{x}(\mathrm{i}+1))
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Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede: encontrar uma raiz da função f(x)=-x+\cos(x) usando o método da secante, com tolerância \varepsilon=10^{-5}.
  • Dados iniciais (pego do enunciado):
    • x(1)=0.
    • x(2)=0,1.
    • \varepsilon=10^{-5}.
As quantidades que vamos acompanhar (e que aparecem na tabela pedida) são, para cada iteração i: x(i), x(i+1), x(i+2), f(x(i)) e f(x(i+1)).

Passo 2

Explicando o método da secante (fórmula e significado das variáveis), de maneira bem didática.
  • Ideia: aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos (x_n,f(x_n)) e (x_{n+1},f(x_{n+1})) e usar a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação x_{n+2}.
  • Fórmula do método da secante (display):
x_{n+2}=x_{n+1}-f(x_{n+1})\;\frac{x_{n+1}-x_n}{\,f(x_{n+1})-f(x_n)\,}.
  • O que cada símbolo significa:
    • x_n e x_{n+1} são as duas últimas aproximações conhecidas.
    • f(x_n) e f(x_{n+1}) são os valores da função nesses pontos.
    • x_{n+2} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
  • Critério de parada que vamos usar (comum e indicado): parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que a tolerância:
\lvert x_{n+2}-x_{n+1}\rvert<\varepsilon.
  • Observação prática: cuidado com denominador f(x_{n+1})-f(x_n) — se ficar muito pequeno o método pode instabilizar. Aqui os valores iniciais são seguros.
Vamos aplicar isso passo a passo com os números dados. Em cada passo mostro os cálculos intermediários e como se chega ao próximo x.

Passo 3

Iteração i=1 — calculando x(3) a partir de x(1)=0 e x(2)=0,1.
  • Calcular f(x):
    • f(x)=\cos(x)-x.
    • f(x(1))=f(0)=\cos(0)-0=1. Assim f(x(1))=1.
    • f(x(2))=f(0,1)=\cos(0,1)-0,1.
      • \cos(0,1)\approx0,9950041653 (valor conhecido / tabela).
      • Logo f(x(2))\approx0,9950041653-0,1=0,8950041653.
  • Aplicar a fórmula da secante para obter x(3):
x(3)=x(2)-f(x(2))\frac{x(2)-x(1)}{f(x(2))-f(x(1))}.
Substituindo:
x(3)=0,1 - 0,8950041653\cdot\frac{0,1-0}{0,8950041653-1} =0,1 - 0,8950041653\cdot\frac{0,1}{-0,1049958347}.
Calcule passo a passo:
  • Numerador do quociente: 0,8950041653\cdot0,1=0,08950041653.
  • Denominador: -0,1049958347.
  • Quociente: 0,08950041653/(-0,1049958347)\approx-0,85241852.
  • Assim x(3)=0,1 - (-0,85241852)=0,95241852.
  • Calcular f(x(3)):
    • f(0,95241852)=\cos(0,95241852)-0,95241852.
    • \cos(0,95241852)\approx0,57968027 (cálculo trigonométrico detalhado pode ser feito por aproximação; aqui usei aproximação com boa precisão).
    • Logo f(x(3))\approx0,57968027-0,95241852=-0,37273825.
Registrando a linha da tabela para i=1:
  • i=1: x(1)=0, x(2)=0,1, x(3)\approx0,95241852, f(x(1))=1, f(x(2))\approx0,8950041653.

Passo 4

Iteração i=2 — calculando x(4) a partir de x(2)=0,1 e x(3)\approx0,95241852.
  • Dados já calculados:
    • x(2)=0,1, f(x(2))\approx0,8950041653.
    • x(3)\approx0,95241852, f(x(3))\approx-0,37273825.
  • Aplicando a fórmula:
x(4)=x(3)-f(x(3))\frac{x(3)-x(2)}{f(x(3))-f(x(2))}.
Substituindo:
x(4)=0,95241852 - (-0,37273825)\cdot\frac{0,95241852-0,1}{-0,37273825-0,8950041653}.
Calcule passo a passo:
  • Diferença x(3)-x(2)=0,95241852-0,1=0,85241852.
  • Produto f(x(3))\cdot(x(3)-x(2))=(-0,37273825)\cdot0,85241852\approx-0,3172288925.
  • Denominador f(x(3))-f(x(2))=-0,37273825-0,8950041653=-1,2677424153.
  • Fração: (-0,3172288925)/(-1,2677424153)\approx0,25023141.
  • Assim x(4)=0,95241852-0,25023141\approx0,70218711.
  • Calcular f(x(4)):
    • f(0,70218711)=\cos(0,70218711)-0,70218711.
    • \cos(0,70218711)\approx0,76343111.
    • Logo f(x(4))\approx0,76343111-0,70218711=0,06124400.
Registrando a linha da tabela para i=2:
  • i=2: x(2)=0,1, x(3)\approx0,95241852, x(4)\approx0,70218711, f(x(2))\approx0,8950041653, f(x(3))\approx-0,37273825.

Passo 5

Iteração i=3 — calculando x(5) a partir de x(3)\approx0,95241852 e x(4)\approx0,70218711.
  • Dados:
    • x(3)\approx0,95241852, f(x(3))\approx-0,37273825.
    • x(4)\approx0,70218711, f(x(4))\approx0,06124400.
  • Aplicando a fórmula:
x(5)=x(4)-f(x(4))\frac{x(4)-x(3)}{f(x(4))-f(x(3))}.
Substituindo e calculando:
  • x(4)-x(3)=0,70218711-0,95241852=-0,25023141.
  • f(x(4))\cdot(x(4)-x(3))=0,06124400\cdot(-0,25023141)\approx-0,01532517.
  • Denominador f(x(4))-f(x(3))=0,06124400-(-0,37273825)=0,43398225.
  • Fração (-0,01532517)/0,43398225\approx-0,03532300.
  • x(5)=0,70218711 - (-0,03532300)=0,73751011.
  • Calcular f(x(5)):
    • f(0,73751011)=\cos(0,73751011)-0,73751011.
    • \cos(0,73751011)\approx0,74014611 (aprox. por expansão linear ao redor da raiz verdadeira).
    • Logo f(x(5))\approx0,74014611-0,73751011=0,00263600.
Registrando a linha da tabela para i=3:
  • i=3: x(3)\approx0,95241852, x(4)\approx0,70218711, x(5)\approx0,73751011, f(x(3))\approx-0,37273825, f(x(4))\approx0,06124400.

Passo 6

Iteração i=4 — calculando x(6) a partir de x(4)\approx0,70218711 e x(5)\approx0,73751011.
  • Dados:
    • x(4)\approx0,70218711, f(x(4))\approx0,06124400.
    • x(5)\approx0,73751011, f(x(5))\approx0,00263600.
  • Aplicando a fórmula:
x(6)=x(5)-f(x(5))\frac{x(5)-x(4)}{f(x(5))-f(x(4))}.
Cálculos:
  • x(5)-x(4)=0,73751011-0,70218711=0,03532300.
  • f(x(5))\cdot(x(5)-x(4))=0,00263600\cdot0,03532300\approx0,00009311.
  • Denominador f(x(5))-f(x(4))=0,00263600-0,06124400=-0,05860800.
  • Fração 0,00009311/(-0,05860800)\approx-0,0015899.
  • x(6)=0,73751011 - (-0,0015899)=0,73910001.
  • Calcular f(x(6)):
    • f(0,73910001)=\cos(0,73910001)-0,73910001.
    • Como a raiz real está perto de 0,73908513, temos f(x(6))\approx-0,0000251 (valor negativo muito pequeno).
Registrando a linha da tabela para i=4:
  • i=4: x(4)\approx0,70218711, x(5)\approx0,73751011, x(6)\approx0,73910001, f(x(4))\approx0,06124400, f(x(5))\approx0,00263600.

Passo 7

Iteração i=5 — calculando x(7) a partir de x(5)\approx0,73751011 e x(6)\approx0,73910001.
  • Dados:
    • x(5)\approx0,73751011, f(x(5))\approx0,00263600.
    • x(6)\approx0,73910001, f(x(6))\approx-0,0000251.
  • Aplicando a fórmula:
x(7)=x(6)-f(x(6))\frac{x(6)-x(5)}{f(x(6))-f(x(5))}.
Cálculos:
  • x(6)-x(5)=0,73910001-0,73751011=0,00158990.
  • f(x(6))\cdot(x(6)-x(5))\approx(-0,0000251)\cdot0,00158990\approx-3,997\cdot10^{-8}.
  • Denominador f(x(6))-f(x(5))\approx-0,0000251-0,00263600=-0,00266110.
  • Fração (-3,997\cdot10^{-8})/(-0,00266110)\approx1,501\cdot10^{-5}.
  • x(7)=0,73910001 - 1,501\cdot10^{-5}=0,73908499.
  • Calcular f(x(7)):
    • f(0,73908499)=\cos(0,73908499)-0,73908499\approx2,39\cdot10^{-7} (valor muito próximo de zero, positivo).
Registrando a linha da tabela para i=5:
  • i=5: x(5)\approx0,73751011, x(6)\approx0,73910001, x(7)\approx0,73908499, f(x(5))\approx0,00263600, f(x(6))\approx-0,0000251.

Passo 8

Teste de parada e iteração final (checando \lvert x_{n+2}-x_{n+1}\rvert<\varepsilon).
  • Diferença entre as últimas aproximações:
    • \lvert x(7)-x(6)\rvert\approx\lvert0,73908499-0,73910001\rvert\approx1,501\cdot10^{-5}.
    • Esta diferença ainda é ligeiramente maior que \varepsilon=10^{-5}, então é preciso mais uma iteração.
  • Iteração extra para garantir a tolerância: calcular x(8) a partir de x(6)\approx0,73910001 e x(7)\approx0,73908499.
  • Aplicando a fórmula:
x(8)=x(7)-f(x(7))\frac{x(7)-x(6)}{f(x(7))-f(x(6))}.
Substituindo valores aproximados:
  • x(7)-x(6)\approx-1,501\cdot10^{-5}.
  • f(x(7))\approx2,39\cdot10^{-7}.
  • f(x(7))-f(x(6))\approx2,39\cdot10^{-7}-(-2,51\cdot10^{-5})\approx2,534\cdot10^{-5}.
  • Produto e divisão dão uma correção de aproximadamente -1,416\cdot10^{-7}.
  • Assim x(8)=x(7)-(-1,416\cdot10^{-7})=x(7)+1,416\cdot10^{-7}\approx0,73908513.
  • Verificação final:
    • \lvert x(8)-x(7)\rvert\approx1,416\cdot10^{-7}<10^{-5}. Portanto a tolerância foi satisfeita e podemos parar.
    • O valor de f(x(8)) é da ordem de 10^{-10} ou menor, portanto também próximo de zero (confirmando que realmente é raiz).

Resposta

x\approx0,73908513

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