O enunciado pede: resolver o sistema linear dado utilizando o método iterativo de Gauss–Seidel com as condições iniciais \,x_{1}(0)=x_{2}(0)=x_{3}(0)=0. Também é pedido preencher as iterações x_{i}^{k} para k=0,1,2,3 e calcular os respectivos \beta (coluna na tabela).
As equações fornecidas são:
Deve usar o método de Gauss–Seidel (iterações sequenciais com uso imediato dos valores atualizados).
A tabela pede os vetores de iteração para k=0,1,2,3 e três valores \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}. (Não foi dada a definição de \beta no enunciado — vou explicitar e adotar uma definição usual no Passo 2.)
Passo 2
Reescrevendo cada equação isolando a incógnita correspondente (forma conveniente para Gauss–Seidel):
Explicação do método (passo a passo, em linguagem simples):
No método de Gauss–Seidel, numa iteração k+1 calcula-se cada componente x_{1}^{k+1},x_{2}^{k+1},x_{3}^{k+1} em ordem usando sempre os valores mais recentes disponíveis. Ou seja, para calcular x_{2}^{k+1} já se usa o x_{1}^{k+1} acabado de calcular, e para x_{3}^{k+1} usa-se x_{1}^{k+1} e x_{2}^{k+1}.
Isso geralmente acelera a convergência em relação a Jacobi, mas depende da matriz do sistema (convergência não é garantida para todo sistema).
Sobre \beta: como o enunciado não definiu \beta, vou adotar uma definição prática e comum para monitorar o progresso: \beta_{k}=\|x^{k}-x^{k-1}\|_{\infty}, ou seja, o máximo valor absoluto das diferenças entre iterações consecutivas. Isso mostra a maior variação de alguma componente entre duas iterações sucessivas e é simples de calcular na prova.
Passo 3
Preparação: vetor inicial (dados do enunciado)
x^{0}=(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0})=(0,0,0).
Passo 4
Iteração k=0\tok=1. Calcular x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{3}^{1} usando as fórmulas do Passo 2 e os valores de x^{0}.
Calcular \beta_{1}=\|x^{1}-x^{0}\|_{\infty}. As diferenças componentes a componentes são |10-0|=10,\;|-12,5-0|=12,5,\;|33,5-0|=33,5. O máximo é 33,5. Logo
\beta_{1}=33,5.
Passo 6
Iteração k=1\tok=2. Usar x^{1} e aplicar Gauss–Seidel:
x_{1}^{2}=10+2x_{2}^{1}-6x_{3}^{1}=10+2\cdot(-12,5)-6\cdot33,5. Calculemos passo a passo:
Interpretação e comentário final (útil para a prova):
As iterações mostram crescimento muito grande das componentes e de \beta_{k}; os valores divergem. Isso indica que o método de Gauss–Seidel, com a ordem e sistema dados, não está convergindo a uma solução estável a partir da condição inicial escolhida.
Uma razão teórica: uma condição simples suficiente para convergência de Gauss–Seidel é que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, em cada linha, o módulo do elemento diagonal maior que a soma dos módulos dos outros elementos da linha) ou que a matriz seja simétrica definida positiva. A matriz do sistema é
e ela não é diagonalmente dominante por linhas (por exemplo, na primeira linha |1| < |{-2}|+|6|=8), portanto a divergência observada era uma possibilidade esperada.
Em prova, se pedir apenas executar algumas iterações, é suficiente mostrar os cálculos (como fiz). Se também for pedir convergência, comente a dominância diagonal ou compute raio espectral da matriz de iteração (mais trabalhoso).]