Resolva o sistema utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel considerando as condições iniciais: x_{1}(0)=x_{2}(0)=x_{3}(0)=0.
\begin{aligned} & x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}=10 \\\ & 4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=15 \\\ & -x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}=7 \end{aligned}
x_{1}^{0}=0 x_{2}^{0}=0 x_{3}^{0}=0 \beta_{1}=
x_{1}^{1}= x_{2}^{1}= x_{3}^{1}= \beta_{2}=
x_{1}^{2}= x_{2}^{2}= x_{3}^{2}= \beta_{3}=
x_{1}^{3}= x_{2}^{3}= x_{3}^{3}=

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear dado utilizando o método iterativo de Gauss–Seidel com as condições iniciais \,x_{1}(0)=x_{2}(0)=x_{3}(0)=0. Também é pedido preencher as iterações x_{i}^{k} para k=0,1,2,3 e calcular os respectivos \beta (coluna na tabela).
As equações fornecidas são:
\begin{aligned} & x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}=10,\\\ & 4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=15,\\\ & -x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}=7. \end{aligned}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Condições iniciais: \,x_{1}^{0}=0,\;x_{2}^{0}=0,\;x_{3}^{0}=0.
  • Deve usar o método de Gauss–Seidel (iterações sequenciais com uso imediato dos valores atualizados).
  • A tabela pede os vetores de iteração para k=0,1,2,3 e três valores \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}. (Não foi dada a definição de \beta no enunciado — vou explicitar e adotar uma definição usual no Passo 2.)

Passo 2

Reescrevendo cada equação isolando a incógnita correspondente (forma conveniente para Gauss–Seidel):
\begin{aligned} & x_{1}=10+2x_{2}-6x_{3},\\\ & x_{2}=\dfrac{15-4x_{1}-x_{3}}{2},\\\ & x_{3}=\dfrac{7+x_{1}-4x_{2}}{2}. \end{aligned}
Explicação do método (passo a passo, em linguagem simples):
  • No método de Gauss–Seidel, numa iteração k+1 calcula-se cada componente x_{1}^{k+1},x_{2}^{k+1},x_{3}^{k+1} em ordem usando sempre os valores mais recentes disponíveis. Ou seja, para calcular x_{2}^{k+1} já se usa o x_{1}^{k+1} acabado de calcular, e para x_{3}^{k+1} usa-se x_{1}^{k+1} e x_{2}^{k+1}.
  • Isso geralmente acelera a convergência em relação a Jacobi, mas depende da matriz do sistema (convergência não é garantida para todo sistema).
  • Sobre \beta: como o enunciado não definiu \beta, vou adotar uma definição prática e comum para monitorar o progresso: \beta_{k}=\|x^{k}-x^{k-1}\|_{\infty}, ou seja, o máximo valor absoluto das diferenças entre iterações consecutivas. Isso mostra a maior variação de alguma componente entre duas iterações sucessivas e é simples de calcular na prova.

Passo 3

Preparação: vetor inicial (dados do enunciado)
x^{0}=(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0})=(0,0,0).

Passo 4

Iteração k=0 \to k=1. Calcular x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{3}^{1} usando as fórmulas do Passo 2 e os valores de x^{0}.
  1. x_{1}^{1}=10+2x_{2}^{0}-6x_{3}^{0}=10+2\cdot0-6\cdot0=10.
  2. x_{2}^{1}=\dfrac{15-4x_{1}^{1}-x_{3}^{0}}{2}=\dfrac{15-4\cdot10-0}{2}=\dfrac{15-40}{2}=\dfrac{-25}{2}=-12,5.
  3. x_{3}^{1}=\dfrac{7+x_{1}^{1}-4x_{2}^{1}}{2}=\dfrac{7+10-4\cdot(-12,5)}{2}=\dfrac{17+50}{2}=\dfrac{67}{2}=33,5.
Portanto
x^{1}=(10,\,-12,5,\,33,5).

Passo 5

Calcular \beta_{1}=\|x^{1}-x^{0}\|_{\infty}. As diferenças componentes a componentes são |10-0|=10,\;|-12,5-0|=12,5,\;|33,5-0|=33,5. O máximo é 33,5. Logo
\beta_{1}=33,5.

Passo 6

Iteração k=1 \to k=2. Usar x^{1} e aplicar Gauss–Seidel:
  1. x_{1}^{2}=10+2x_{2}^{1}-6x_{3}^{1}=10+2\cdot(-12,5)-6\cdot33,5. Calculemos passo a passo:
2\cdot(-12,5)=-25,\qquad 6\cdot33,5=201,
x_{1}^{2}=10-25-201=10-226=-216.
  1. x_{2}^{2}=\dfrac{15-4x_{1}^{2}-x_{3}^{1}}{2}=\dfrac{15-4\cdot(-216)-33,5}{2}. Calcule:
4\cdot(-216)=-864,\qquad 15-(-864)-33,5=15+864-33,5=845,5,
x_{2}^{2}=\dfrac{845,5}{2}=422,75.
  1. x_{3}^{2}=\dfrac{7+x_{1}^{2}-4x_{2}^{2}}{2}=\dfrac{7+(-216)-4\cdot422,75}{2}. Calcule:
4\cdot422,75=1691,\qquad 7-216-1691=7-1907=-1900,
x_{3}^{2}=\dfrac{-1900}{2}=-950.
Portanto
x^{2}=(-216,\;422,75,\;-950).

Passo 7

Calcular \beta_{2}=\|x^{2}-x^{1}\|_{\infty}. Diferenças absolutas:
|x_{1}^{2}-x_{1}^{1}|=|-216-10|=226,
|x_{2}^{2}-x_{2}^{1}|=|422,75-(-12,5)|=435,25,
|x_{3}^{2}-x_{3}^{1}|=|-950-33,5|=983,5.
O máximo é 983,5. Logo
\beta_{2}=983,5.

Passo 8

Iteração k=2 \to k=3. Usar x^{2}:
  1. x_{1}^{3}=10+2x_{2}^{2}-6x_{3}^{2}=10+2\cdot422,75-6\cdot(-950). Calcule:
2\cdot422,75=845,5,\qquad 6\cdot(-950)=-5700,
x_{1}^{3}=10+845,5-(-5700)=10+845,5+5700=6555,5.
  1. x_{2}^{3}=\dfrac{15-4x_{1}^{3}-x_{3}^{2}}{2}=\dfrac{15-4\cdot6555,5-(-950)}{2}. Calcule:
4\cdot6555,5=26222,\qquad 15-26222+950=15-25272=-25257,
x_{2}^{3}=\dfrac{-25257}{2}=-12628,5.
  1. x_{3}^{3}=\dfrac{7+x_{1}^{3}-4x_{2}^{3}}{2}=\dfrac{7+6555,5-4\cdot(-12628,5)}{2}. Calcule:
4\cdot12628,5=50514,\qquad 7+6555,5+50514=57076,5,
x_{3}^{3}=\dfrac{57076,5}{2}=28538,25.
Portanto
x^{3}=(6555,5,\,-12628,5,\;28538,25).

Passo 9

Calcular \beta_{3}=\|x^{3}-x^{2}\|_{\infty}. Diferenças:
|x_{1}^{3}-x_{1}^{2}|=|6555,5-(-216)|=6771,5,
|x_{2}^{3}-x_{2}^{2}|=|-12628,5-422,75|=13051,25,
|x_{3}^{3}-x_{3}^{2}|=|28538,25-(-950)|=29488,25.
O máximo é 29488,25. Logo
\beta_{3}=29488,25.

Passo 10

Interpretação e comentário final (útil para a prova):
  • As iterações mostram crescimento muito grande das componentes e de \beta_{k}; os valores divergem. Isso indica que o método de Gauss–Seidel, com a ordem e sistema dados, não está convergindo a uma solução estável a partir da condição inicial escolhida.
  • Uma razão teórica: uma condição simples suficiente para convergência de Gauss–Seidel é que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, em cada linha, o módulo do elemento diagonal maior que a soma dos módulos dos outros elementos da linha) ou que a matriz seja simétrica definida positiva. A matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 6\\[4pt]4 & 2 & 1\\[4pt]-1 & 4 & 2\end{pmatrix},
e ela não é diagonalmente dominante por linhas (por exemplo, na primeira linha |1| < |{-2}|+|6|=8), portanto a divergência observada era uma possibilidade esperada.
  • Em prova, se pedir apenas executar algumas iterações, é suficiente mostrar os cálculos (como fiz). Se também for pedir convergência, comente a dominância diagonal ou compute raio espectral da matriz de iteração (mais trabalhoso).]

Resposta

x_{1}^{0}=0
x_{2}^{0}=0
x_{3}^{0}=0
\beta_{1}=33,5
x_{1}^{1}=10
x_{2}^{1}=-12,5
x_{3}^{1}=33,5
\beta_{2}=983,5
x_{1}^{2}=-216
x_{2}^{2}=422,75
x_{3}^{2}=-950
\beta_{3}=29488,25
x_{1}^{3}=6555,5
x_{2}^{3}=-12628,5
x_{3}^{3}=28538,25

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