Aproxime a menor raiz positiva de sin (x)=1 / x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação para a menor raiz positiva da equação sin(x) = 1x. Isso envolve conhecimentos de funções trigonométricas e métodos de aproximação numérica. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta e usar uma técnica para encontrar onde ela cruza a função 1x.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar graficamente as funções sin(x) e 1x para ter uma ideia de onde elas podem se cruzar. A função seno oscila entre -1 e 1, e a função 1x é uma hipérbole que diminui à medida que x aumenta. Queremos encontrar o menor valor positivo de x onde essas duas funções se igualam.

Passo 3

Sabemos que sin(x) tem zeros em múltiplos de pi, e entre 0 e pi, a função seno aumenta até atingir 1 em pi2 e depois diminui até 0 em pi. A função 1x começa em infinito quando x se aproxima de 0 e diminui até 0 conforme x vai para infinito. Portanto, a interseção deve ocorrer antes de pi, provavelmente perto de pi2.

Passo 4

Vamos usar a técnica de aproximação numérica chamada Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz. Esse método usa uma aproximação inicial e itera para chegar mais perto da solução. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde f(x) = sin(x) - 1x e f'(x) = cos(x) + 1x^2.

Passo 5

Vamos escolher uma aproximação inicial. Como suspeitamos que a raiz está perto de pi2 approx 1.5708, vamos começar com x0 = 1.5.

Passo 6

Calculando f(x0) e f'(x0):
f(1.5) = sin(1.5) - 11.5 approx 0.9975 - 0.6667 = 0.3308
f'(1.5) = cos(1.5) + 1(1.5)^2 approx 0.0707 + 0.4444 = 0.5151

Passo 7

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = 1.5 - 0.33080.5151 approx 1.5 - 0.642 = 0.858

Passo 8

Verificamos o novo valor:
f(0.858) = sin(0.858) - 10.858 approx 0.7562 - 1.1648 = -0.4086
f'(0.858) = cos(0.858) + 1(0.858)^2 approx 0.6551 + 1.358 = 2.0131

Passo 9

Aplicando novamente:
x2 = 0.858 - -0.40862.0131 approx 0.858 + 0.2027 = 1.0607

Passo 10

Repetindo o processo:
f(1.0607) = sin(1.0607) - 11.0607 approx 0.8741 - 0.942 = -0.0679
f'(1.0607) = cos(1.0607) + 1(1.0607)^2 approx 0.4885 + 0.8894 = 1.3779

Passo 11

Nova iteração:
x3 = 1.0607 - -0.06791.3779 approx 1.0607 + 0.0493 = 1.1100

Passo 12

Mais uma verificação:
f(1.1100) = sin(1.1100) - 11.1100 approx 0.8993 - 0.9009 = -0.0016
f'(1.1100) = cos(1.1100) + 1(1.1100)^2 approx 0.4531 + 0.8100 = 1.2631

Passo 13

Última iteração para refinar:
x4 = 1.1100 - -0.00161.2631 approx 1.1100 + 0.0013 = 1.1113

Resposta

Aproximadamente, a menor raiz positiva de sin(x) = 1x é x approx 1.111.

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