Aproxime a menor raiz positiva de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação para a menor raiz positiva da equação
. Isso envolve conhecimentos de funções trigonométricas e métodos de aproximação numérica. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta e usar uma técnica para encontrar onde ela cruza a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar graficamente as funções
e
para ter uma ideia de onde elas podem se cruzar. A função seno oscila entre -1 e 1, e a função
é uma hipérbole que diminui à medida que x aumenta. Queremos encontrar o menor valor positivo de x onde essas duas funções se igualam.
Passo 3
Sabemos que
tem zeros em múltiplos de
, e entre 0 e
, a função seno aumenta até atingir 1 em
e depois diminui até 0 em
. A função
começa em infinito quando x se aproxima de 0 e diminui até 0 conforme x vai para infinito. Portanto, a interseção deve ocorrer antes de
, provavelmente perto de
.
Passo 4
Vamos usar a técnica de aproximação numérica chamada Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz. Esse método usa uma aproximação inicial e itera para chegar mais perto da solução. A fórmula é:
Onde
e
.
Passo 5
Vamos escolher uma aproximação inicial. Como suspeitamos que a raiz está perto de
, vamos começar com
.
Passo 6
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 8
Verificamos o novo valor:
Passo 9
Aplicando novamente:
Passo 10
Repetindo o processo:
Passo 11
Nova iteração:
Passo 12
Mais uma verificação:
Passo 13
Última iteração para refinar:
Resposta
Aproximadamente, a menor raiz positiva de
é
.