Quantos pontos fixos possui a equação x=sin (7 x) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos a equação $ x = \sin(7x) $ e queremos descobrir quantos pontos fixos ela possui. Um ponto fixo é simplesmente um valor de $ x $ que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas e análise gráfica para visualizar onde as duas funções $ y = x $ e $ y = \sin(7x) $ se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, $ \sin(\theta) $, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ \theta $. Isso significa que $ \sin(7x) $ também estará sempre entre -1 e 1, independente do valor de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ y = x $. Essa é uma linha reta que passa pela origem (0,0) com inclinação 1. À medida que $ x $ aumenta ou diminui, $ y = x $ cresce ou decresce indefinidamente.

Passo 4

Para encontrar os pontos fixos, precisamos ver onde as duas funções se intersectam, ou seja, onde $ x = \sin(7x) $. Graficamente, isso significa encontrar os pontos onde a linha reta $ y = x $ corta a curva $ y = \sin(7x) $.

Passo 5

Vamos considerar o intervalo onde $ \sin(7x) $ está entre -1 e 1. Isso implica que $ x $ também deve estar entre -1 e 1 para que a igualdade $ x = \sin(7x) $ seja possível, já que $ x $ não pode ser maior que 1 ou menor que -1 para que $ \sin(7x) $ alcance o mesmo valor.

Passo 6

Dentro desse intervalo [-1, 1], a função $ \sin(7x) $ realiza várias oscilações devido ao fator 7 dentro do seno, que “acelera” as oscilações. Isso significa que a curva $ y = \sin(7x) $ cruza a linha $ y = x $ várias vezes nesse intervalo.

Passo 7

Para determinar exatamente quantas vezes isso acontece, podemos observar que cada período completo da função seno ($ 2\pi $) contém dois cruzamentos com a linha $ y = x $ (um positivo e um negativo). Mas como estamos no intervalo 2pi , que é menor que um período completo de $ \frac{2\pi}{7} $, teremos múltiplas oscilações menores dentro desse intervalo.

Passo 8

Na prática, ao plotar as funções $ y = x $ e $ y = \sin(7x) $, observamos que elas se cruzam 7 vezes neste intervalo. Cada cruzamento corresponde a um ponto fixo da equação $ x = \sin(7x) $.

Resposta

A equação $ x = \sin(7x) $ possui 7 pontos fixos.

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