Verifique a convergência das séries
a) sum (-1)^ne^n

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a série

Conteúdo da matéria: séries numéricas, em especial séries alternadas (teste de Leibniz) e séries geométricas para testar convergência absoluta. Vamos precisar lembrar que, para o teste de Leibniz, basta mostrar que os termos em módulo são positivos, decrescentes e tendem a zero; e que uma série geométrica converge se .

Passo 2

Identificando a parte alternada e o “tamanho” dos termos:
Definimos
an = (-1)^ne^n, bn = |an| = 1e^n
Note que limntoinfty bn = limntoinfty 1e^n = 0 , que (ou seja, é decrescente) e que
Pelo teste de Leibniz (critério de séries alternadas), essas três condições já garantem que
converge.

Passo 3

Agora testamos convergência absoluta, ou seja, a série de sumn=1^infty bn = sumn=1^infty 1e^n :
Isso é uma série geométrica com razão . Como , a série geométrica converge. Logo, converge e a série original converge absolutamente.

Passo 4

Conclusão geral:
– Pelo teste de Leibniz já tínhamos convergência condicional.
– Pelo teste da série geométrica temos convergência absoluta.
Convergência absoluta implica convergência da série.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^ne^n =sumn=1^inftyl(-tfrac1er)^n =-1/e1 - (-1/e) =-1e+1 converge absolutamente (pois é geométrica com razão ) e, portanto, converge.
Se quiser o valor da soma, é

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