Verifique a convergência das séries
a)
a)
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem a série
Conteúdo da matéria: séries numéricas, em especial séries alternadas (teste de Leibniz) e séries geométricas para testar convergência absoluta. Vamos precisar lembrar que, para o teste de Leibniz, basta mostrar que os termos em módulo são positivos, decrescentes e tendem a zero; e que uma série geométrica converge se
.
Conteúdo da matéria: séries numéricas, em especial séries alternadas (teste de Leibniz) e séries geométricas para testar convergência absoluta. Vamos precisar lembrar que, para o teste de Leibniz, basta mostrar que os termos em módulo são positivos, decrescentes e tendem a zero; e que uma série geométrica
Passo 2
Identificando a parte alternada e o “tamanho” dos termos:
Definimos
Definimos
Note que
, que
(ou seja,
é decrescente) e que
Pelo teste de Leibniz (critério de séries alternadas), essas três condições já garantem que
converge.
Passo 3
Agora testamos convergência absoluta, ou seja, a série de
:
Isso é uma série geométrica com razão
. Como
, a série geométrica converge. Logo,
converge e a série original converge absolutamente.
Passo 4
Conclusão geral:
– Pelo teste de Leibniz já tínhamos convergência condicional.
– Pelo teste da série geométrica temos convergência absoluta.
Convergência absoluta implica convergência da série.
– Pelo teste de Leibniz já tínhamos convergência condicional.
– Pelo teste da série geométrica temos convergência absoluta.
Convergência absoluta implica convergência da série.
Resposta
A série
converge absolutamente (pois
é geométrica com razão
) e, portanto, converge.
Se quiser o valor da soma, é
Se quiser o valor da soma, é