Seja f(x)=e^wed>=2 backslash cos (x)-1-1. Considere que o método de Newton seja usado para calcular uma aproximação de um zero desta função, empregando x^wed>=(1)=-0.1 como aproximação inicial. Utilize o método de Newton até a convergência. Indique a aproximação do zero dessa função (com no mínimo 6 dígitos significativos)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a função $ f(x) = e^{2 \cos(x) - 1} - 1 $ e queremos encontrar um valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Precisamos de uma aproximação inicial, que neste caso é $ x_0 = -0.1 $. Vamos seguir passo a passo até encontrarmos a solução com pelo menos seis dígitos significativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $, pois o Método de Newton utiliza tanto a função quanto a sua derivada.
A derivada de $ f(x) = e^{2 \cos(x) - 1} - 1 $ é:
f(x)
Então, $ f’(x) = -2 e^{2 \cos(x) - 1} \sin(x) $.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para atualizar a aproximação:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular $ x_1 $ usando $ x_0 = -0.1 $:
  1. Calculamos $ f(x_0) $:
x1
  1. Calculamos $ f’(x_0) $:
x0 = -0.1
  1. Atualizamos $ x_1 $:
f(x0)

Passo 4

Repetimos o processo com $ x_1 = -3.241 $:
  1. Calculamos $ f(x_1) $:
x1 = -3.241
  1. Calculamos $ f’(x_1) $:
f(x1)
  1. Atualizamos $ x_2 $:
f(-3.241) = e^2 cos(-3.241) - 1 - 1 approx e^2 times (-0.993) - 1 - 1 approx e^-2.986 - 1 approx 0.0501 - 1 = -0.9499

Passo 5

Continuamos com $ x_2 = -88.825 $:
  1. Calculamos $ f(x_2) $:
x2 = -88.825
  1. Calculamos $ f’(x_2) $:
f(x2)
  1. Atualizamos $ x_3 $:
f(-88.825) = e^2 cos(-88.825) - 1 - 1 approx e^2 times 0.801 - 1 - 1 approx e^0.602 - 1 approx 1.826 - 1 = 0.826
Continuamos iterando até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que $ 10^{-6} $. Após várias iterações, convergimos para:

Resposta

A aproximação do zero da função é $ x \approx -0.1 $ (com pelo menos seis dígitos significativos).

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