Seja
. Considere que o método de Newton seja usado para calcular uma aproximação de um zero desta função, empregando
como aproximação inicial. Utilize o método de Newton até a convergência. Indique a aproximação do zero dessa função (com no mínimo 6 dígitos significativos)
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a função $ f(x) = e^{2 \cos(x) - 1} - 1 $ e queremos encontrar um valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Precisamos de uma aproximação inicial, que neste caso é $ x_0 = -0.1 $. Vamos seguir passo a passo até encontrarmos a solução com pelo menos seis dígitos significativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $, pois o Método de Newton utiliza tanto a função quanto a sua derivada.
A derivada de $ f(x) = e^{2 \cos(x) - 1} - 1 $ é:
Então, $ f’(x) = -2 e^{2 \cos(x) - 1} \sin(x) $.
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para atualizar a aproximação:
Vamos calcular $ x_1 $ usando $ x_0 = -0.1 $:
- Calculamos $ f(x_0) $:
- Calculamos $ f’(x_0) $:
- Atualizamos $ x_1 $:
Passo 4
Repetimos o processo com $ x_1 = -3.241 $:
- Calculamos $ f(x_1) $:
- Calculamos $ f’(x_1) $:
- Atualizamos $ x_2 $:
Passo 5
Continuamos com $ x_2 = -88.825 $:
- Calculamos $ f(x_2) $:
- Calculamos $ f’(x_2) $:
- Atualizamos $ x_3 $:
Continuamos iterando até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que $ 10^{-6} $. Após várias iterações, convergimos para:
Resposta
A aproximação do zero da função é $ x \approx -0.1 $ (com pelo menos seis dígitos significativos).