Prove que fórmula iterativa
x_{k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{k}+\frac{a}{x_{k}}\right), \quad k=0,1,2, \ldots,
aproxima \sqrt{a} dada a aproximação inicial x_{0}>0.

Passo 1

O enunciado dá a iteração de Heron (método de Newton para f(x)=x^2-a):
x_{k+1}=\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr),
com x_0>0, e pede para mostrar que x_k\to\sqrt{a}. Vamos usar os conceitos de preservação do sinal, monotonicidade, limitação e ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, note que se x_k>0 então a/x_k>0 (pois a>0 para \sqrt{a} real) e, por consequência,
x_{k+1} =\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr)>0.
Logo a sequência permanece estritamente positiva.

Passo 3

Agora analisamos dois casos:
Caso 1: x_k>\sqrt{a}.
Então x_k^2>a, ou seja x_k>a/x_k. Daí
x_{k+1} =\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr) <\frac12\bigl(x_k+x_k\bigr) =x_k,
e também
x_{k+1} =\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr) >\frac12\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{a}\bigr) =\sqrt{a}.
Portanto se x_k>\sqrt{a}, então \sqrt{a}<x_{k+1}<x_k: a sequência decresce, mas fica sempre acima de \sqrt{a}.
Caso 2: 0<x_k<\sqrt{a}.
Aqui x_k^2<a, logo x_k<a/x_k. Assim
x_{k+1} =\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr) >\frac12\bigl(x_k+x_k\bigr) =x_k,
e
x_{k+1} =\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr) <\frac12\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{a}\bigr) =\sqrt{a}.
Logo se x_k<\sqrt{a}, então x_k<x_{k+1}<\sqrt{a}: a sequência cresce, mas fica sempre abaixo de \sqrt{a}.
Em ambos os casos vemos que (x_k) é monótona e limitada (por \sqrt{a}), portanto converge.

Passo 4

Sejam L=\lim_{k\to\infty}x_k. Como a função de iteração
\varphi(x)=\frac12\Bigl(x+\frac{a}{x}\Bigr)
é contínua para x>0, ao passar ao limite na relação x_{k+1}=\varphi(x_k) vem
L=\varphi(L) \quad\Longrightarrow\quad L=\frac12\Bigl(L+\frac{a}{L}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad L^2=a.
Como mostramos x_k>0 para todo k, segue L>0 e assim L=\sqrt{a}.

Resposta

\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_k=\sqrt{a}.

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