Prove que fórmula iterativa
aproxima
dada a aproximação inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a iteração de Heron (método de Newton para
):
com
, e pede para mostrar que
. Vamos usar os conceitos de preservação do sinal, monotonicidade, limitação e ponto fixo.
Passo 2
Primeiro, note que se
então
(pois
para
real) e, por consequência,
Logo a sequência permanece estritamente positiva.
Passo 3
Agora analisamos dois casos:
Caso 1:
.
Então , ou seja
. Daí
Então
e também
Portanto se
, então
: a sequência decresce, mas fica sempre acima de
.
Caso 2:
.
Aqui , logo
. Assim
Aqui
e
Logo se
, então
: a sequência cresce, mas fica sempre abaixo de
.
Em ambos os casos vemos que
é monótona e limitada (por
), portanto converge.
Passo 4
Sejam
. Como a função de iteração
é contínua para
, ao passar ao limite na relação
vem
Como mostramos
para todo
, segue
e assim
.