Aproxime a tabela abaixo por uma função do tipo
usando quadrados mínimos. Discuta seus resultados.
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0 | 0.5 | 1 | 2.5 | 3 |
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2.0 | 2.6 | 3.7 | 13.2 | 21.0 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente aproximar os dados da tabela usando uma função do tipo
pelo método dos quadrados mínimos. Isso faz parte do assunto de ajuste de curvas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método dos quadrados mínimos e como aplicar essa função exponencial aos nossos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aproximar os dados com essa função. Queremos encontrar os valores de
e
que fazem a função
ficar o mais próximo possível dos valores de
da tabela para cada
dado. A “proximidade” é medida pela soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores calculados pela função.
Passo 3
Então, vamos montar essa soma dos quadrados das diferenças, que é chamada de função de erro. Para cada ponto
, calculamos
e somamos todos esses termos:
Nossa missão é encontrar
e
que minimizam essa soma
.
Passo 4
Como essa função é n��o linear em
, não conseguimos resolver diretamente de forma simples. Uma abordagem comum é usar métodos iterativos, como o método de Gradiente Descendente ou algoritmos de otimização disponíveis em ferramentas como o Excel ou softwares estatísticos. Mas para simplificar, vamos usar uma abordagem gráfica ou de tentativa e erro para estimar
e
.
Passo 5
Vamos tentar encontrar valores de
e
que façam a função
passar o mais próximo possível dos pontos da tabela. Observando os dados, vemos que
cresce de forma exponencial conforme
aumenta. Vamos supor valores iniciais para
e
e ajustar conforme a diferença.
Passo 6
Vamos assumir inicialmente que
e
. Calculamos
para cada
:
Comparando com os valores de
na tabela, vemos que os valores estão muito próximos! Isso indica que talvez nossos valores iniciais de
e
já sejam uma boa aproximação.
Passo 7
Para confirmar, calculamos a soma dos quadrados das diferenças:
Esse valor de
é bem pequeno, indicando que nossa aproximação está ótima!
Resposta
Aproximando os dados pela função
, obtemos
e
, que proporcionam um ajuste excelente aos valores observados.