Construa o polinômio de grau 2 que passa pelos pontos K0=(-2.2,5.1), K1=(1.56,-1.9) e K2=(2.4,3.78).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar um polinômio de segundo grau que passa por três pontos específicos: , e . O conteúdo envolvido aqui é a interpolação polinomial, mais especificamente, encontrar um polinômio quadrático que se ajusta a esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar configurar e resolver um sistema de equações usando a forma geral de um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma:
f(x) = ax^2 + bx + c
onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que o polinômio deve passar pelos três pontos dados. Isso significa que podemos substituir as coordenadas de cada ponto na equação do polinômio para obter três equações.
Para o ponto 5.1 = a(-2.2)^2 + b(-2.2) + c :
-1.9 = a(1.56)^2 + b(1.56) + c
Para o ponto 3.78 = a(2.4)^2 + b(2.4) + c :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essas equações:
Para 5.1 = a(4.84) - 2.2b + c :
5.1 = 4.84a - 2.2b + c
-1.9 = a(2.4336) + 1.56b + c
Para -1.9 = 2.4336a + 1.56b + c :
3.78 = a(5.76) + 2.4b + c
3.78 = 5.76a + 2.4b + c
Para :

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira é subtrair equações para eliminar uma das variáveis.

Passo 6

Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar -2.4064a + 3.76b = -7 :
2.4064a - 3.76b = 7
Isso simplifica para:
(Multiplicando por -1)
Vamos chamar essa Equação 4.

Passo 7

Agora, subtraímos a primeira equação da terceira:
0.92a + 4.6b = -1.32
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação 5.

Passo 8

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (Equações 4 e 5):
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação 5 para e substituir na Equação 4.

Passo 9

Resolvendo a Equação 5 para 0.92a = -1.32 - 4.6b :
a = -1.32 - 4.6b0.92
a = -1.4348 - 5b
(Aproximadamente)

Passo 10

Agora, substituímos 2.4064(-1.4348 - 5b) - 3.76b = 7 na Equação 4:
-3.4432 - 12.032b - 3.76b = 7
-3.4432 - 15.792b = 7
-15.792b = 10.4432
b = 10.4432-15.792
b approx -0.66

Passo 11

Com a = -1.4348 - 5(-0.66) , vamos encontrar a = -1.4348 + 3.3 :
a approx 1.8652

Passo 12

Agora que temos 4.84(1.8652) - 2.2(-0.66) + c = 5.1 e 9.029168 + 1.452 + c = 5.1 , vamos encontrar 10.481168 + c = 5.1 usando a primeira equação:
c = 5.1 - 10.481168
c approx -5.3812

Resposta

O polinômio de grau 2 que passa pelos pontos dados é aproximadamente:
f(x) = 1.865x^2 - 0.66x - 5.381

Exercícios relacionados