Construa o polinômio de grau 2 que passa pelos pontos
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar um polinômio de segundo grau que passa por três pontos específicos:
,
e
. O conteúdo envolvido aqui é a interpolação polinomial, mais especificamente, encontrar um polinômio quadrático que se ajusta a esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar configurar e resolver um sistema de equações usando a forma geral de um polinômio de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma:
onde
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que o polinômio deve passar pelos três pontos dados. Isso significa que podemos substituir as coordenadas de cada ponto na equação do polinômio para obter três equações.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essas equações:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira é subtrair equações para eliminar uma das variáveis.
Passo 6
Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Isso simplifica para:
Vamos chamar essa Equação 4.
Passo 7
Agora, subtraímos a primeira equação da terceira:
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação 5.
Passo 8
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (Equações 4 e 5):
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação 5 para
e substituir na Equação 4.
Passo 9
Resolvendo a Equação 5 para
:
Passo 10
Agora, substituímos
na Equação 4:
Passo 11
Com
, vamos encontrar
:
Passo 12
Agora que temos
e
, vamos encontrar
usando a primeira equação:
Resposta
O polinômio de grau 2 que passa pelos pontos dados é aproximadamente: