O concreto novo ganha resistência com o passar dos dias atingindo 99% de sua resistência máxima aos 28 dias. A tabela abaixo mostra os resultados de um ensaio de resistência à compressão simples (em MPa), obtidos em laboratório especializado, de três diferentes traços de concreto:
  1. Dosagem padrão, sem a adição de agregado miúdo reciclado;
  2. Substituindo 20 % de agregado miúdo natural por agregado miúdo reciclado;
  3. Substituindo 40 % de agregado miúdo natural por agregado miúdo reciclado.
Dias Traço 1 Traço 2 Traço 3
3 14,4025 21,8450 19,0045
7 27,4350 31,2800 26,7450
14 34,4900 35,1600 31,3000
21 34,3750 38,1000 34,1800
28 36,1650 39,9800 35,6550
(a) Encontre o polinômio que interpola os dados de cada um dos ensaios e plote seu gráfico.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar, para cada traço de concreto (1, 2 e 3), o polinômio que interpola os 5 pontos dados (dias × resistência) e depois plotar esses polinômios. O conteúdo aqui é “interpolação polinomial” — em especial o método de Lagrange ou qualquer outro que gere um polinômio de grau ≤4 passando por 5 pontos. Vamos precisar das coordenadas (t_i, f_i) e usar a fórmula de Lagrange para montar cada polinômio.

Passo 2

Antes de sair escrevendo direto, lembra da teoria: dado 5 pontos P(t);=;sumi=0^4 fi,Li(t), , o polinômio de Lagrange é
Li(t);=;prodsubstackj=0jneq i^4t-tjti-tj
onde
Cada é um “peso” que vale 1 em e 0 em todos os outros . É isso que garante que .

Passo 3

Agora vamos aplicar pro Traço 1. Os dados são
P1(t)=sumi=0^4 fi^(1),Li^(1)(t), .
Então
L0^(1)(t)=(t-7)(t-14)(t-21)(t-28)(3-7)(3-14)(3-21)(3-28), L1^(1)(t)=(t-3)(t-14)(t-21)(t-28)(7-3)(7-14)(7-21)(7-28),
com
e assim por diante até . Substituindo , etc., você monta . É trabalhoso, mas direto.

Passo 4

Mesma pegada pro Traço 2, com pontos
P2(t)=sumi=0^4 fi^(2),Li^(2)(t), .
onde cada é igual à definição do passo anterior, só trocando os pares .

Passo 5

E pro Traço 3, faz o mesmo com
P3(t)=sumi=0^4 fi^(3),Li^(3)(t) .
Depois, pra plotar, é só usar qualquer software (Excel, Python, MATLAB) e traçar cada no intervalo [3,28].

Resposta


com , , , , .

com .

com .
Cada um desses polinômios de grau ≤4 interpola exatamente os dados do respectivo traço. Plotando versus a gente vê como a resistência evolui com o tempo!

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