O concreto novo ganha resistência com o passar dos dias atingindo 99% de sua resistência máxima aos 28 dias. A tabela abaixo mostra os resultados de um ensaio de resistência à compressão simples (em MPa), obtidos em laboratório especializado, de três diferentes traços de concreto:
- Dosagem padrão, sem a adição de agregado miúdo reciclado;
- Substituindo
de agregado miúdo natural por agregado miúdo reciclado;
- Substituindo
de agregado miúdo natural por agregado miúdo reciclado.
Dias | Traço 1 | Traço 2 | Traço 3 |
---|---|---|---|
3 | 14,4025 | 21,8450 | 19,0045 |
7 | 27,4350 | 31,2800 | 26,7450 |
14 | 34,4900 | 35,1600 | 31,3000 |
21 | 34,3750 | 38,1000 | 34,1800 |
28 | 36,1650 | 39,9800 | 35,6550 |
(a) Encontre o polinômio que interpola os dados de cada um dos ensaios e plote seu gráfico.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar, para cada traço de concreto (1, 2 e 3), o polinômio que interpola os 5 pontos dados (dias × resistência) e depois plotar esses polinômios. O conteúdo aqui é “interpolação polinomial” — em especial o método de Lagrange ou qualquer outro que gere um polinômio de grau ≤4 passando por 5 pontos. Vamos precisar das coordenadas (t_i, f_i) e usar a fórmula de Lagrange para montar cada polinômio.
Passo 2
Antes de sair escrevendo direto, lembra da teoria: dado 5 pontos
, o polinômio de Lagrange é
onde
Cada
é um “peso” que vale 1 em
e 0 em todos os outros
. É isso que garante que
.
Passo 3
Agora vamos aplicar pro Traço 1. Os dados são
.
Então
Então
com
e assim por diante até
. Substituindo
,
etc., você monta
. É trabalhoso, mas direto.
Passo 4
Mesma pegada pro Traço 2, com pontos
.
onde cada
é igual à definição do passo anterior, só trocando os pares
.
Passo 5
E pro Traço 3, faz o mesmo com
.
Depois, pra plotar, é só usar qualquer software (Excel, Python, MATLAB) e traçar cada
no intervalo [3,28].
Resposta
com
com
com
Cada um desses polinômios de grau ≤4 interpola exatamente os dados do respectivo traço. Plotando
versus
a gente vê como a resistência evolui com o tempo!