Determinar os valores das integrais de tal modo que tenha erros <= 10^-3 usando a regra dos trapézios.
integral1^3 ln (x+1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar
integral1^3ln(x+1),dx
usando a regra dos trapézios composta de forma que o erro seja no máximo |ET|<=(b-a)^312,n^2maxxin[a,b]|f''(x)| .
Conteúdo: integração numérica (regra dos trapézios) e estimativa de erro baseada na segunda derivada de .
Vamos precisar de:
  1. A função e suas derivadas até a segunda.
  2. A fórmula do erro na regra dos trapézios:

Passo 2

Calcular as derivadas:
f(x)=ln(x+1), f'(x)=1x+1, f''(x)=-1(x+1)^2

Passo 3

Achar o maior valor de |f''(x)|=1(x+1)^2 em K=max[1,3]|f''(x)|=1(1+1)^2=14 :
é decrescente em , logo o máximo ocorre em :

Passo 4

Usar o limite de erro
(b-a)^312,n^2K<=10^-3,
com (3-1)^312,n^2cdot14 =848,n^2 =16,n^2 <=10^-3 Longrightarrow n^2>=16cdot10^-3approx166,7 , , :
Logo . Escolhemos (inteiro).

Passo 5

Calcular o passo
h=b-an=3-113=213approx0,15385
Os pontos são Tn =hl(tfracf(x0)+f(x13)2+sumi=1^12f(xi)r) , T13approx2,1579 . A regra dos trapézios composta dá
Plugando e fazendo a conta dá

Passo 6

Verificando o erro real comparado ao valor exato
integral1^3ln(x+1),dx =(x+1)ln(x+1)-x|1^3 approx2,15888,
a diferença , beleza!

Resposta

Aproximando com integral1^3ln(x+1),dxapprox2,1579, trapézios,
com erro garantido .

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