Aproxime o valor da integral
usando um polinômio interpolador do 2 grau.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar
usando um polinômio interpolador de grau 2.
Conteúdo envolvido: interpolação pelo método de Lagrange (polinômio que “passa” por 3 pontos) e integração desse polinômio.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: interpolação pelo método de Lagrange (polinômio que “passa” por 3 pontos) e integração desse polinômio.
O que vamos precisar:
- Escolher 3 nós (x₀, x₁, x₂) no intervalo [0,1].
- Montar o polinômio de Lagrange
. - Calcular
.
Passo 2
Primeiro escolhemos 3 pontos bem simples e igualmente espaçados em [0,1]:
Nesses pontos, a função vale
Passo 3
Vamos lembrar rapidinho do polinômio de Lagrange de grau 2:
onde cada base de Lagrange é
No nosso caso, se você for calcular direitinho, chega em:
E a parte legal é que
Isso é exatamente a regra de Simpson para um subintervalo.
Passo 4
Substituindo tudo, nossa aproximação fica
[
\int_{0}^{1} e{x2},dx
\approx
\frac{1}{6},f(0)
+\frac{4}{6},f(0.5)
+\frac{1}{6},f(1)
\frac{1}{6}\cdot1
+\frac{4}{6},e^{0.25}
+\frac{1}{6},e.
]
+\frac{4}{6},e^{0.25}
+\frac{1}{6},e.
]
Passo 5
Só falta colocar em forma numérica:
logo
Resposta
Aproximação pela interpolação de grau 2 (regra de Simpson) dá
ou, em forma exata simbólica,