Aproxime o valor da integral integral0^1 e^x^2 d x usando um polinômio interpolador do 2 grau.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar
integral0^1 e^x^2,dx
usando um polinômio interpolador de grau 2.
Conteúdo envolvido: interpolação pelo método de Lagrange (polinômio que “passa” por 3 pontos) e integração desse polinômio.
O que vamos precisar:
  1. Escolher 3 nós (x₀, x₁, x₂) no intervalo [0,1].
  2. Montar o polinômio de Lagrange .
  3. Calcular .

Passo 2

Primeiro escolhemos 3 pontos bem simples e igualmente espaçados em [0,1]:
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1
Nesses pontos, a função vale
f(x0)=e^0^2=1, f(x1)=e^(0.5)^2=e^0.25, f(x2)=e^1^2=e

Passo 3

Vamos lembrar rapidinho do polinômio de Lagrange de grau 2:
P2(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x),
onde cada base de Lagrange é
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj
No nosso caso, se você for calcular direitinho, chega em:
integral0^1 P2(x),dx = f(x0)!integral0^1!L0(x),dx + f(x1)!integral0^1!L1(x),dx + f(x2)!integral0^1!L2(x),dx
E a parte legal é que
integral0^1 L0(x),dx = tfrac16, integral0^1 L1(x),dx = tfrac46, integral0^1 L2(x),dx = tfrac16
Isso é exatamente a regra de Simpson para um subintervalo.

Passo 4

Substituindo tudo, nossa aproximação fica
[
\int_{0}^{1} e{x2},dx
\approx
\frac{1}{6},f(0)
+\frac{4}{6},f(0.5)
+\frac{1}{6},f(1)

\frac{1}{6}\cdot1
+\frac{4}{6},e^{0.25}
+\frac{1}{6},e.
]

Passo 5

Só falta colocar em forma numérica:
e^0.25approx1.2840, eapprox2.7183,
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1 + 4cdot1.2840 + 2.71836 =1 + 5.1360 + 2.71836 =8.85436 approx1.4757

Resposta

Aproximação pela interpolação de grau 2 (regra de Simpson) dá
boxed1.4757 (aprox)
ou, em forma exata simbólica,
1 + 4e^0.25 + e6

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