A velocidade v(m / s) do ar que escoa por uma superfície plana é medida a diversas distâncias y(m) da superfície. Use a lei de Newton da viscosidade para determinar a tensão de cisalhamento tau(N / m^2) na superfície ( y=0 ),
tau=mu d ud y
Considere o valor de mu=1,8 cdot 10^-5 N cdot s / m^2 para a viscosidade dinâmica.
y, m 0 0,006 0,012 0,018 0,024
u, m / s 0 0,899 1,915 3,048 4,299
Determine um polinômio de 2^circ grau para aproximar a tensão de cisalhamento na superfície y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede:
Temos medidas de velocidade tau = mu,dudy,, do ar em vários pontos afastados da placa (onde é a própria superfície). A lei de Newton da viscosidade diz que
e querem que a gente ache um polinômio de 2º grau para e, a partir dele, determine a tensão de cisalhamento na superfície ( ).
Conteúdo: interpolação polinomial + derivada + aplicação da lei de viscosidade.
O que vamos usar:
  1. Ajustar (interpolar) por um polinômio quadrático .
  2. Calcular e avaliar em .
  3. Multiplicar por .

Passo 2

Primeiro, como há exatamente 3 incógnitas (0,0),(0,006,,0,899),(0,012,,1,915) , a gente pode usar os três primeiros pontos ( u(0)=a0 + a1cdot0 + a2cdot0^2 = 0 Longrightarrow a0=0 ) =
para interpolar exatamente um polinômio de grau 2.
Do ponto :

Passo 3

Agora sobra resolver o sistema para 0,006,a1 + (0,006)^2,a2 = 0,899, 0,012,a1 + (0,012)^2,a2 = 1,915 usando os dois outros pontos:
0,006,a1 + 0,000036,a2 = 0,899, 0,012,a1 + 0,000144,a2 = 1,915
Escrevendo os valores numéricos:
&l[0,012,a1 + 0,000072,a2 = 1,798r] -&l[0,012,a1 + 0,000144,a2 = 1,915r] ;Longrightarrow; -0,000072,a2 = -0,117 ;Longrightarrow; a2 = 0,1170,000072 approx 1625
Para resolver, multiplico a primeira equação por 2 e subtraio da segunda:
0,006,a1 + 0,000036,(1625) = 0,899 ;Longrightarrow; 0,006,a1 = 0,899 - 0,0585 = 0,8405 ;Longrightarrow; a1 = 0,84050,006 approx 140,08
Então, de volta na primeira equação:

Passo 4

Ficamos com o polinômio interpolador
u(y) = 0 + 140,08,y + 1625,y^2
Aí a derivada é
dudy = 140,08 + 2cdot1625,y,
e em dudy|y=0 = 140,08l[m/sover mr] vale simplesmente

Passo 5

Finalmente, pela lei de Newton da viscosidade, a tensão de cisalhamento na superfície é
tau(0) = mu,dudy|y=0 = 1,8times10^-5times 140,08 approx 2,52times10^-3;N/m^2

Resposta

Polinômio aproximado:
boxedu(y)=140,08,y + 1625,y^2
Tensão de cisalhamento na placa ( boxedtau(0)approx 2,52times10^-3,N/m^2 ):

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