A velocidade do ar que escoa por uma superfície plana é medida a diversas distâncias da superfície. Use a lei de Newton da viscosidade para determinar a tensão de cisalhamento na superfície ( ),
Considere o valor de para a viscosidade dinâmica.
0
0,006
0,012
0,018
0,024
0
0,899
1,915
3,048
4,299
Determine um polinômio de grau para aproximar a tensão de cisalhamento na superfície .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede:
Temos medidas de velocidade do ar em vários pontos afastados da placa (onde é a própria superfície). A lei de Newton da viscosidade diz que
e querem que a gente ache um polinômio de 2º grau para e, a partir dele, determine a tensão de cisalhamento na superfície ().
Conteúdo: interpolação polinomial + derivada + aplicação da lei de viscosidade.
O que vamos usar:
Ajustar (interpolar) por um polinômio quadrático .
Calcular e avaliar em .
Multiplicar por .
Passo 2
Primeiro, como há exatamente 3 incógnitas , a gente pode usar os três primeiros pontos ( ) =
para interpolar exatamente um polinômio de grau 2.
Do ponto :
Passo 3
Agora sobra resolver o sistema para usando os dois outros pontos:
Escrevendo os valores numéricos:
Para resolver, multiplico a primeira equação por 2 e subtraio da segunda:
Então, de volta na primeira equação:
Passo 4
Ficamos com o polinômio interpolador
Aí a derivada é
e em vale simplesmente
Passo 5
Finalmente, pela lei de Newton da viscosidade, a tensão de cisalhamento na superfície é