Calcule as raízes de
, com erro menor que 0,1 , pelos métodos abaixo, no intervalo
:
Bissecção
Bissecção
Passo 1
O enunciado pede: calcular a(s) raiz(es) da função
no intervalo
usando o método da bissecção, de modo que o erro da aproximação seja menor que
.
Informações dadas e pedido:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Método exigido: bissecção.
- Tolerância exigida: erro absoluto menor que
.
Passo 2
O que é e por que podemos usar bissecção aqui (aulas rápidas):
- O método da bissecção precisa de um intervalo
onde é contínua e e têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
. Avalia-se . Se pronto; se tiver mesmo sinal que escolhe-se novo intervalo , senão escolhe-se . Assim o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade a cada iteração. - Fórmula de controle de erro usada aqui: após
iterações (ou seja, bissecções) o erro absoluto da aproximação pelo ponto médio da iteração satisfaz
Aqui
é o comprimento do intervalo inicial. Para garantir erro
vamos escolher
mínimo tal que
No nosso caso
, então precisamos de
, logo
iterações bastam, porque
. Portanto faremos 4 iterações e devolveremos o ponto médio da quarta iteração como aproximação com erro
.
Passo 3
Verificação do intervalo inicial e sinais (dados usados diretamente do enunciado):
- Calcular
e .
Como
e
, há mudança de sinal em
e portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Podemos aplicar bissecção.
Passo 4
Iteração 1 (primeira bissecção):
- Ponto médio:
- Avaliar
:
- Sinais:
e . A mudança de sinal está entre e . Novo intervalo:
Passo 5
Iteração 2 (segunda bissecção):
- Ponto médio:
- Avaliar
:
- Sinais:
e . A mudança de sinal está entre e . Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 3 (terceira bissecção):
- Ponto médio:
- Avaliar
. Primeiro calcular e :
Logo
- Sinais:
e . A mudança de sinal está em . Novo intervalo:
Passo 7
Iteração 4 (quarta bissecção):
- Ponto médio:
- Avaliar
. Primeiro e
Logo
- Sinais:
e . A mudança de sinal está em .
Passo 8
Verificação do critério de parada e conclusão:
- Fizemos
iterações. Pelo critério do Passo 2, o erro máximo da aproximação pela bissecção após 4 iterações satisfaz
- Portanto a aproximação obtida em
tem erro menor que e é válida para o pedido. Observação: a raiz exata real é aproximadamente , então o erro real aqui é bem menor que .