Calcule as raízes de f(x)=x^{3}-x-1, com erro menor que 0,1 , pelos métodos abaixo, no intervalo [1,2] :
Bissecção

Passo 1

O enunciado pede: calcular a(s) raiz(es) da função f(x)=x^{3}-x-1 no intervalo [1,2] usando o método da bissecção, de modo que o erro da aproximação seja menor que 0,1.
Informações dadas e pedido:
  • Função: f(x)=x^{3}-x-1.
  • Intervalo inicial: [1,2].
  • Método exigido: bissecção.
  • Tolerância exigida: erro absoluto menor que 0,1.

Passo 2

O que é e por que podemos usar bissecção aqui (aulas rápidas):
  • O método da bissecção precisa de um intervalo [a,b] onde f é contínua e f(a) e f(b) têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Avalia-se f(m). Se f(m)=0 pronto; se f(m) tiver mesmo sinal que f(a) escolhe-se novo intervalo [m,b], senão escolhe-se [a,m]. Assim o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade a cada iteração.
  • Fórmula de controle de erro usada aqui: após n iterações (ou seja, n bissecções) o erro absoluto da aproximação pelo ponto médio da iteração n satisfaz
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n}}.
Aqui b-a é o comprimento do intervalo inicial. Para garantir erro <0,1 vamos escolher n mínimo tal que
\frac{b-a}{2^{n}} \le 0,1.
No nosso caso b-a=2-1=1, então precisamos de 2^{n}\ge 10, logo n=\lceil\log_{2}10\rceil=4 iterações bastam, porque 2^{4}=16\ge10. Portanto faremos 4 iterações e devolveremos o ponto médio da quarta iteração como aproximação com erro \le 1/16=0,0625<0,1.

Passo 3

Verificação do intervalo inicial e sinais (dados usados diretamente do enunciado):
  • Calcular f(1) e f(2).
f(1)=1^{3}-1-1=1-1-1=-1.
f(2)=2^{3}-2-1=8-2-1=5.
Como f(1)=-1<0 e f(2)=5>0, há mudança de sinal em [1,2] e portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Podemos aplicar bissecção.

Passo 4

Iteração 1 (primeira bissecção):
  • Ponto médio:
m_{1}=\frac{1+2}{2}=1,5.
  • Avaliar f(m_{1}):
f(1,5)=1,5^{3}-1,5-1=3,375-1,5-1=0,875.
  • Sinais: f(1)=-1 e f(1,5)=0,875>0. A mudança de sinal está entre 1 e 1,5. Novo intervalo:
[a_{1},b_{1}]=[1,\,1{,}5].

Passo 5

Iteração 2 (segunda bissecção):
  • Ponto médio:
m_{2}=\frac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
  • Avaliar f(m_{2}):
f(1,25)=1,25^{3}-1,25-1=1,953125-1,25-1=-0,296875.
  • Sinais: f(1,25)=-0,296875<0 e f(1,5)=0,875>0. A mudança de sinal está entre 1{,}25 e 1{,}5. Novo intervalo:
[a_{2},b_{2}]=[1{,}25,\,1{,}5].

Passo 6

Iteração 3 (terceira bissecção):
  • Ponto médio:
m_{3}=\frac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
  • Avaliar f(m_{3}). Primeiro calcular 1{,}375^{2} e 1{,}375^{3}:
1{,}375^{2}=1{,}890625,\qquad 1{,}375^{3}=1{,}890625\times1{,}375=2{,}599609375.
Logo
f(1,375)=2{,}599609375-1{,}375-1=0{,}224609375.
  • Sinais: f(1{,}25)=-0{,}296875<0 e f(1{,}375)=0{,}224609375>0. A mudança de sinal está em [1{,}25,\,1{,}375]. Novo intervalo:
[a_{3},b_{3}]=[1{,}25,\,1{,}375].

Passo 7

Iteração 4 (quarta bissecção):
  • Ponto médio:
m_{4}=\frac{1{,}25+1{,}375}{2}=1{,}3125.
  • Avaliar f(m_{4}). Primeiro 1{,}3125^{2}=1{,}72265625 e
1{,}3125^{3}=1{,}72265625\times1{,}3125=2{,}260986328125.
Logo
f(1,3125)=2{,}260986328125-1{,}3125-1=-0{,}051513671875.
  • Sinais: f(1{,}3125)=-0{,}051513671875<0 e f(1{,}375)=0{,}224609375>0. A mudança de sinal está em [1{,}3125,\,1{,}375].

Passo 8

Verificação do critério de parada e conclusão:
  • Fizemos n=4 iterações. Pelo critério do Passo 2, o erro máximo da aproximação pela bissecção após 4 iterações satisfaz
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0{,}0625<0{,}1.
  • Portanto a aproximação obtida em m_{4}=1{,}3125 tem erro menor que 0{,}1 e é válida para o pedido. Observação: a raiz exata real é aproximadamente 1{,}3247\ldots, então o erro real aqui é bem menor que 0{,}1.

Resposta

x \approx 1{,}3125

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