A função
é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar um zero de
no intervalo
usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância
.
Informações fornecidas:
- Intervalo inicial:
e . - Precisão desejada:
. - A função explicitamente em cada ponto pode ser calculada por
.
O que se pede:
- Encontrar uma aproximação da raiz de
dentro do intervalo dado, aplicando o método da posição falsa modificada até que o critério de parada seja satisfeito.
Passo 2
Breve explicação do método (FPM — variante Illinois que vamos usar) e critério de parada, para saber o que fazer na prova.
- Regra da posição falsa (fórmula do ponto de interseção): dado um intervalo
com , o ponto aproximado pela regressão linear é
Aqui
é a interseção da reta que passa por
e
com o eixo
.
-
Modificação (Illinois): para evitar que um dos extremos fique “travado” (não se mova) e o método convirja muito devagar, quando um extremo não se altera num passo, na fórmula da iteração seguinte substitui-se o valor de
desse extremo por metade do seu valor (isto é, usa-se apenas no cálculo do próximo ). As decisões de troca de extremos usam sempre os sinais originais de . -
Critério de parada que vou usar (clareza para a prova): paro quando
. Isto é, quando o valor da função no ponto aproximado é menor ou igual a em módulo, considero a raiz suficientemente aproximada.
Agora aplico o método passo a passo, mostrando conta por conta.
Passo 3
Inicialização e primeira iteração.
- Valores iniciais:
Calculo os valores da função nos extremos:
Como
, existe uma raiz no intervalo.
- Aplicando a fórmula da posição falsa:
Calculo:
portanto
- Avalio
em :
Observação de sinais:
e
têm o mesmo sinal; portanto o novo intervalo é
.
- Como
permaneceu igual (não foi substituído), na variante Illinois vamos usar, na próxima iteração, modificado por no cálculo de .
Passo 4
Segunda iteração (usando
modificado).
- Dados atuais:
- Calcula-se
Compute os termos:
Logo
- Avaliação:
Sinais:
e
têm sinais opostos, então o novo intervalo é
.
- Como
não se alterou nesta iteração (permaneceu ), vamos, na iteração seguinte, usar no cálculo do próximo .
Passo 5
Terceira iteração (com
modificado).
- Valores:
- Fórmula:
Cálculos intermédios:
Então
- Avaliação:
Sinais:
e
, então o novo intervalo é
.
- Agora
ficou inalterado nesta iteração (permaneceu ), portanto na próxima iteração usaremos .
Passo 6
Quarta iteração (com
modificado).
- Valores:
- Cálculo do próximo ponto:
Intermédios:
Portanto
- Avaliação:
Sinais:
e
têm sinais opostos, então o novo intervalo é
.
- Agora
permaneceu inalterado nesta iteração (continua ), logo usaremos na próxima iteração.
Passo 7
Quinta iteração (com
modificado).
- Dados:
- Calcula-se
Intermédios:
Assim
- Avaliação:
Sinais:
e
, então o novo intervalo é
.
- Como
não mudou neste passo (permaneceu ), na próxima iteração usaremos .
Passo 8
Sexta iteração (com
modificado).
- Valores:
- Calcula-se
Intermédios:
Logo
- Avaliação:
Como
, ainda não atingimos a precisão desejada.
- Nesta iteração
não mudou (permaneceu ), então na próxima iteração usaremos .
Passo 9
Sétima iteração (com
modificado).
- Dados:
- Fórmula:
Intermédios:
Portanto
- Avaliação:
Verificação da tolerância:
, ainda não suficiente. O sinal é negativo, então o novo intervalo será
. Como
permaneceu inalterado nesta iteração, na próxima iteração usaremos
.
Passo 10
Oitava iteração — convergência.
- Valores:
- Cálculo:
Intermédios:
Assim
- Avaliação final do passo:
Agora
. Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar
como aproximação da raiz.