A função f(x)=-9 x^{3}+8 x^{2}+1,5 x-0,5 é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[0: 0,5]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-9x^{3}+8x^{2}+1,5x-0,5
e pede para determinar um zero de f no intervalo [0:0,5] usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância \varepsilon=0,002.
Informações fornecidas:
  • Intervalo inicial: a=0 e b=0,5.
  • Precisão desejada: \varepsilon=0,002.
  • A função explicitamente em cada ponto pode ser calculada por f(x)=-9x^{3}+8x^{2}+1,5x-0,5.
O que se pede:
  • Encontrar uma aproximação da raiz de f dentro do intervalo dado, aplicando o método da posição falsa modificada até que o critério de parada seja satisfeito.

Passo 2

Breve explicação do método (FPM — variante Illinois que vamos usar) e critério de parada, para saber o que fazer na prova.
  • Regra da posição falsa (fórmula do ponto de interseção): dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, o ponto aproximado pela regressão linear é
x_r = b - \dfrac{f(b)\,(b-a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui x_r é a interseção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
  • Modificação (Illinois): para evitar que um dos extremos fique “travado” (não se mova) e o método convirja muito devagar, quando um extremo não se altera num passo, na fórmula da iteração seguinte substitui-se o valor de f desse extremo por metade do seu valor (isto é, usa-se f_{\text{mod}}(\text{extremo}) = \tfrac{1}{2}f(\text{extremo}) apenas no cálculo do próximo x_r). As decisões de troca de extremos usam sempre os sinais originais de f.
  • Critério de parada que vou usar (clareza para a prova): paro quando |f(x_r)|\le\varepsilon. Isto é, quando o valor da função no ponto aproximado é menor ou igual a \varepsilon em módulo, considero a raiz suficientemente aproximada.
Agora aplico o método passo a passo, mostrando conta por conta.

Passo 3

Inicialização e primeira iteração.
  • Valores iniciais:
a=0,\quad b=0,5.
Calculo os valores da função nos extremos:
f(0)=-0,5, \qquad f(0,5)=-9(0,5)^3+8(0,5)^2+1,5(0,5)-0,5=1,125.
Como f(0)\cdot f(0,5)=-0,5\cdot1,125<0, existe uma raiz no intervalo.
  • Aplicando a fórmula da posição falsa:
x_{r1}=0,5-\dfrac{f(0,5)\,(0,5-0)}{f(0,5)-f(0)} =0,5-\dfrac{1,125\cdot0,5}{1,125-(-0,5)}.
Calculo:
\dfrac{1,125\cdot0,5}{1,625}=\dfrac{0,5625}{1,625}\approx0,346154,
portanto
x_{r1}\approx0,5-0,346154=0,153846.
  • Avalio f em x_{r1}:
f(0,153846)\approx -9(0,153846)^{3}+8(0,153846)^{2}+1,5(0,153846)-0,5\approx-0,112634.
Observação de sinais: f(0)=-0,5 e f(x_{r1})\approx-0,112634 têm o mesmo sinal; portanto o novo intervalo é [x_{r1},\,0,5]=[0,153846,\,0,5].
  • Como b permaneceu igual (não foi substituído), na variante Illinois vamos usar, na próxima iteração, f(b) modificado por f_{\text{mod}}(b)=\tfrac{1}{2}f(b)=0,5625 no cálculo de x_r.

Passo 4

Segunda iteração (usando f(b) modificado).
  • Dados atuais:
a=0,153846,\quad f(a)\approx-0,112634;\qquad b=0,5,\quad f_{\text{mod}}(b)=\tfrac{1}{2}\cdot1,125=0,5625.
  • Calcula-se
x_{r2}=0,5-\dfrac{0,5625\,(0,5-0,153846)}{0,5625-(-0,112634)}.
Compute os termos:
0,5-0,153846=0,346154,
0,5625-(-0,112634)=0,675134,
\dfrac{0,5625\cdot0,346154}{0,675134}\approx0,288343.
Logo
x_{r2}\approx0,5-0,288343=0,211657.
  • Avaliação:
f(0,211657)\approx-9(0,211657)^3+8(0,211657)^2+1,5(0,211657)-0,5\approx0,090614.
Sinais: f(a)\approx-0,112634 e f(x_{r2})\approx0,090614 têm sinais opostos, então o novo intervalo é [a,\,x_{r2}]=[0,153846,\,0,211657].
  • Como a não se alterou nesta iteração (permaneceu 0,153846), vamos, na iteração seguinte, usar f_{\text{mod}}(a)=\tfrac{1}{2}f(a)\approx-0,056317 no cálculo do próximo x_r.

Passo 5

Terceira iteração (com f(a) modificado).
  • Valores:
a=0,153846,\quad f_{\text{mod}}(a)\approx-0,056317; \qquad b=0,211657,\quad f(b)\approx0,090614.
  • Fórmula:
x_{r3}=b-\dfrac{f(b)\,(b-a)}{f(b)-f_{\text{mod}}(a)} =0,211657-\dfrac{0,090614\,(0,211657-0,153846)}{0,090614-(-0,056317)}.
Cálculos intermédios:
b-a=0,057811,\quad f(b)-f_{\text{mod}}(a)=0,146931,
\dfrac{0,090614\cdot0,057811}{0,146931}\approx0,035649.
Então
x_{r3}\approx0,211657-0,035649=0,176009.
  • Avaliação:
f(0,176009)\approx-9(0,176009)^3+8(0,176009)^2+1,5(0,176009)-0,5\approx-0,037241.
Sinais: f(x_{r3})<0 e f(b)>0, então o novo intervalo é [0,176009,\,0,211657].
  • Agora b ficou inalterado nesta iteração (permaneceu 0,211657), portanto na próxima iteração usaremos f_{\text{mod}}(b)=\tfrac{1}{2}f(b)\approx0,045307.

Passo 6

Quarta iteração (com f(b) modificado).
  • Valores:
a=0,176009,\quad f(a)\approx-0,037241; \qquad b=0,211657,\quad f_{\text{mod}}(b)\approx0,045307.
  • Cálculo do próximo ponto:
x_{r4}=b-\dfrac{f_{\text{mod}}(b)\,(b-a)}{f_{\text{mod}}(b)-f(a)} =0,211657-\dfrac{0,045307\,(0,211657-0,176009)}{0,045307-(-0,037241)}.
Intermédios:
b-a=0,035649,\quad f_{\text{mod}}(b)-f(a)=0,082548,
\dfrac{0,045307\cdot0,035649}{0,082548}\approx0,019570.
Portanto
x_{r4}\approx0,211657-0,019570=0,192087.
  • Avaliação:
f(0,192087)\approx-9(0,192087)^3+8(0,192087)^2+1,5(0,192087)-0,5\approx0,019625.
Sinais: f(a)\approx-0,037241 e f(x_{r4})\approx0,019625 têm sinais opostos, então o novo intervalo é [0,176009,\,0,192087].
  • Agora a permaneceu inalterado nesta iteração (continua 0,176009), logo usaremos f_{\text{mod}}(a)=\tfrac{1}{2}f(a)\approx-0,018621 na próxima iteração.

Passo 7

Quinta iteração (com f(a) modificado).
  • Dados:
a=0,176009,\quad f_{\text{mod}}(a)\approx-0,018621; \qquad b=0,192087,\quad f(b)\approx0,019625.
  • Calcula-se
x_{r5}=b-\dfrac{f(b)\,(b-a)}{f(b)-f_{\text{mod}}(a)} =0,192087-\dfrac{0,019625\,(0,192087-0,176009)}{0,019625-(-0,018621)}.
Intermédios:
b-a=0,016078,\quad f(b)-f_{\text{mod}}(a)=0,038246,
\dfrac{0,019625\cdot0,016078}{0,038246}\approx0,008260.
Assim
x_{r5}\approx0,192087-0,008260=0,183827.
  • Avaliação:
f(0,183827)\approx-9(0,183827)^3+8(0,183827)^2+1,5(0,183827)-0,5\approx-0,009942.
Sinais: f(0,183827)<0 e f(b)>0, então o novo intervalo é [0,183827,\,0,192087].
  • Como b não mudou neste passo (permaneceu 0,192087), na próxima iteração usaremos f_{\text{mod}}(b)=\tfrac{1}{2}f(b)\approx0,009812.

Passo 8

Sexta iteração (com f(b) modificado).
  • Valores:
a=0,183827,\quad f(a)\approx-0,009942; \qquad b=0,192087,\quad f_{\text{mod}}(b)\approx0,009812.
  • Calcula-se
x_{r6}=b-\dfrac{f_{\text{mod}}(b)\,(b-a)}{f_{\text{mod}}(b)-f(a)} =0,192087-\dfrac{0,009812\,(0,192087-0,183827)}{0,009812-(-0,009942)}.
Intermédios:
b-a=0,008260,\quad f_{\text{mod}}(b)-f(a)=0,019754,
\dfrac{0,009812\cdot0,008260}{0,019754}\approx0,004102.
Logo
x_{r6}\approx0,192087-0,004102=0,187985.
  • Avaliação:
f(0,187985)\approx-9(0,187985)^3+8(0,187985)^2+1,5(0,187985)-0,5\approx0,004901.
Como |f(0,187985)|\approx0,004901>\varepsilon, ainda não atingimos a precisão desejada.
  • Nesta iteração a não mudou (permaneceu 0,183827), então na próxima iteração usaremos f_{\text{mod}}(a)=\tfrac{1}{2}f(a)\approx-0,004971.

Passo 9

Sétima iteração (com f(a) modificado).
  • Dados:
a=0,183827,\quad f_{\text{mod}}(a)\approx-0,004971; \qquad b=0,187985,\quad f(b)\approx0,004901.
  • Fórmula:
x_{r7}=b-\dfrac{f(b)\,(b-a)}{f(b)-f_{\text{mod}}(a)} =0,187985-\dfrac{0,004901\,(0,187985-0,183827)}{0,004901-(-0,004971)}.
Intermédios:
b-a=0,004158,\quad f(b)-f_{\text{mod}}(a)=0,009872,
\dfrac{0,004901\cdot0,004158}{0,009872}\approx0,002064.
Portanto
x_{r7}\approx0,187985-0,002064=0,185921.
  • Avaliação:
f(0,185921)\approx-9(0,185921)^3+8(0,185921)^2+1,5(0,185921)-0,5\approx-0,002406.
Verificação da tolerância: |f(0,185921)|\approx0,002406>\varepsilon(=0,002), ainda não suficiente. O sinal é negativo, então o novo intervalo será [0,185921,\,0,187985]. Como b permaneceu inalterado nesta iteração, na próxima iteração usaremos f_{\text{mod}}(b)=\tfrac{1}{2}f(b)\approx0,002450.

Passo 10

Oitava iteração — convergência.
  • Valores:
a=0,185921,\quad f(a)\approx-0,002406; \qquad b=0,187985,\quad f_{\text{mod}}(b)\approx0,002450.
  • Cálculo:
x_{r8}=b-\dfrac{f_{\text{mod}}(b)\,(b-a)}{f_{\text{mod}}(b)-f(a)} =0,187985-\dfrac{0,002450\,(0,187985-0,185921)}{0,002450-(-0,002406)}.
Intermédios:
b-a=0,002064,\quad f_{\text{mod}}(b)-f(a)=0,004856,
\dfrac{0,002450\cdot0,002064}{0,004856}\approx0,001042.
Assim
x_{r8}\approx0,187985-0,001042=0,186943.
  • Avaliação final do passo:
f(0,186943)\approx-9(0,186943)^3+8(0,186943)^2+1,5(0,186943)-0,5\approx0,001260.
Agora |f(0,186943)|\approx0,001260\le\varepsilon(=0,002). Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar x_{r8} como aproximação da raiz.

Resposta

\,x\approx0,186943

Exercícios relacionados