Um arranjo de 3 molas em série sendo comprimidas por uma força de 1.500 kg , em equilíbrio, pode ser representado pelas equações a seguir:
\begin{aligned} k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & =k_{1} x_{1} \\\ k_{3}\left(x_{3}-x_{2}\right) & =k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\\ F & =k_{3}\left(x_{3}-x_{2}\right) \end{aligned}
onde os k 's são as constantes elásticas das molas. Se k_{1}, k_{2} e k_{3} forem 100,50 e 80 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, respectivamente, responda:
Diga se é possível resolver o sistema acima a partir do método iterativo de Jacobi. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se é possível resolver o sistema fornecido usando o método iterativo de Jacobi e justifique a resposta. As informações relevantes do enunciado são as três equações (em equilíbrio) e os valores numéricos das constantes elásticas:
\begin{aligned} k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & =k_{1} x_{1},\\[4pt] k_{3}\left(x_{3}-x_{2}\right) & =k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right),\\[4pt] F & =k_{3}\left(x_{3}-x_{2}\right), \end{aligned}
com
k_{1}=100,\quad k_{2}=50,\quad k_{3}=80.
A pergunta é apenas sobre a aplicabilidade / convergência do método de Jacobi, ou seja, se as iterações de Jacobi convergirão para a solução do sistema linear correspondente.]

Passo 2

Vou transformar as equações dadas numa forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Faço manipulações algébricas termo a termo.
Da primeira equação:
k_{2}(x_{2}-x_{1})=k_{1}x_{1}
k_{2}x_{2}-k_{2}x_{1}=k_{1}x_{1}
-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}+0\cdot x_{3}=0.
Da segunda equação:
k_{3}(x_{3}-x_{2})=k_{2}(x_{2}-x_{1})
k_{3}x_{3}-k_{3}x_{2}=k_{2}x_{2}-k_{2}x_{1}
k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}+k_{3}x_{3}=0.
Da terceira equação:
F=k_{3}(x_{3}-x_{2})
0\cdot x_{1}-k_{3}x_{2}+k_{3}x_{3}=F.
Portanto o sistema na forma A\mathbf{x}=\mathbf{b} é dado pelos coeficientes obtidos acima.

Passo 3

Substituo os valores numéricos k_{1}=100, k_{2}=50, k_{3}=80 para escrever A e \mathbf{b}.
Os coeficientes são:
A=\begin{pmatrix} -(k_{1}+k_{2}) & k_{2} & 0\\[4pt] k_{2} & -(k_{2}+k_{3}) & k_{3}\\[4pt] 0 & -k_{3} & k_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -150 & 50 & 0\\[4pt] 50 & -130 & 80\\[4pt] 0 & -80 & 80 \end{pmatrix},
e
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]F\end{pmatrix}.
Note que o termo F não é necessário numericamente para testar convergência de Jacobi — basta a matriz A.]

Passo 4

Explico rapidamente o método de Jacobi e um critério simples de convergência.
O método de Jacobi escreve A = D + R, onde D é a matriz diagonal de A e R=A-D. A iteração de Jacobi é
\mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(\mathbf{b}-R\mathbf{x}^{(k)}).
A matriz de iteração (que decide convergência) é
G = -D^{-1}R.
O método de Jacobi converge para toda condição inicial se, e somente se, o raio espectral \rho(G) (maior valor absoluto dos autovalores de G) satisfizer \rho(G)<1. Uma condição suficiente simples, fácil de checar na prova, é a dominância diagonal estrita por linhas:
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\quad\text{para todas as linhas }i.
Se essa desigualdade for verdadeira para todas as linhas, então Jacobi converge. Se não for, não significa automaticamente que Jacobi diverge — é preciso analisar \rho(G).
Vou verificar a dominância diagonal linha a linha para A.
Linha 1:
|a_{11}|=150,\qquad |a_{12}|+|a_{13}|=50+0=50,\qquad 150>50\quad(\text{estrita}).
Linha 2:
|a_{22}|=130,\qquad |a_{21}|+|a_{23}|=50+80=130,\qquad 130=130\quad(\text{não estrita, igualdade}).ã
Linha 3:
|a_{33}|=80,\qquad |a_{31}|+|a_{32}|=0+80=80,\qquad 80=80\quad(\text{não estrita, igualdade}).ã
Conclusão parcial: a matriz não é estritamente diagonal dominante em todas as linhas (tem igualdade nas linhas 2 e 3). Portanto não posso garantir convergência apenas pela condição suficiente da dominância diagonal estrita. Preciso então calcular explicitamente a matriz de iteração G e verificar o raio espectral.

Passo 5

Calculo D, R e a matriz de iteração G=-D^{-1}R.
A matriz diagonal D é
D=\operatorname{diag}(-150,\,-130,\,80).
A matriz R=A-D é
R=\begin{pmatrix} 0 & 50 & 0\\[4pt] 50 & 0 & 80\\[4pt] 0 & -80 & 0 \end{pmatrix}.
Agora calculo G=-D^{-1}R linha a linha. É conveniente denotar
a=\tfrac{1}{3}=\tfrac{50}{150},\qquad b=\tfrac{5}{13}=\tfrac{50}{130},\qquad c=\tfrac{8}{13}=\tfrac{80}{130}.
Com isso as entradas de G ficam:
G=\begin{pmatrix} 0 & a & 0\\[4pt] b & 0 & c\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] \tfrac{5}{13} & 0 & \tfrac{8}{13}\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo os autovalores de G para obter o raio espectral. Considero o polinômio característico \det(G-\lambda I).
\det\begin{pmatrix} -\lambda & a & 0\\[4pt] b & -\lambda & c\\[4pt] 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} = -\lambda\big(\lambda^{2}-c-ab\big).
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2,3}=\pm\sqrt{\,c+ab\,}.
Substituindo a=\tfrac{1}{3}, b=\tfrac{5}{13}, c=\tfrac{8}{13}:
c+ab=\frac{8}{13}+\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{13}=\frac{8}{13}+\frac{5}{39}=\frac{29}{39}.
Portanto os autovalores não nulos têm módulo
\big|\lambda_{2,3}\big|=\sqrt{\frac{29}{39}}\approx 0{,}862.
O raio espectral é
\rho(G)=\sqrt{\frac{29}{39}}\approx 0{,}862<1.
Como \rho(G)<1, as iterações de Jacobi convergem para a solução do sistema para qualquer aproximação inicial.]

Passo 7

Interpretação final (motivação para a prova): mesmo que a dominância diagonal estrita falhe em algumas linhas, isso não implica divergência; o teste definitivo é o raio espectral de G. Aqui calculei explicitamente G e seus autovalores, e encontrei \rho(G)<1, logo Jacobi converge. Assim é perfeitamente possível aplicar o método de Jacobi a este sistema.

Resposta

Sim. O método de Jacobi converge, pois a matriz de iteração tem raio espectral \displaystyle \rho(G)=\sqrt{\tfrac{29}{39}}\approx0{,}862<1.

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