onde os k 's são as constantes elásticas das molas. Se k_{1}, k_{2} e k_{3} forem 100,50 e 80 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, respectivamente, responda:
Diga se é possível resolver o sistema acima a partir do método iterativo de Jacobi. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se é possível resolver o sistema fornecido usando o método iterativo de Jacobi e justifique a resposta. As informações relevantes do enunciado são as três equações (em equilíbrio) e os valores numéricos das constantes elásticas:
A pergunta é apenas sobre a aplicabilidade / convergência do método de Jacobi, ou seja, se as iterações de Jacobi convergirão para a solução do sistema linear correspondente.]
Passo 2
Vou transformar as equações dadas numa forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Faço manipulações algébricas termo a termo.
Da primeira equação:
k_{2}(x_{2}-x_{1})=k_{1}x_{1}
k_{2}x_{2}-k_{2}x_{1}=k_{1}x_{1}
-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}+0\cdot x_{3}=0.
Da segunda equação:
k_{3}(x_{3}-x_{2})=k_{2}(x_{2}-x_{1})
k_{3}x_{3}-k_{3}x_{2}=k_{2}x_{2}-k_{2}x_{1}
k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}+k_{3}x_{3}=0.
Da terceira equação:
F=k_{3}(x_{3}-x_{2})
0\cdot x_{1}-k_{3}x_{2}+k_{3}x_{3}=F.
Portanto o sistema na forma A\mathbf{x}=\mathbf{b} é dado pelos coeficientes obtidos acima.
Passo 3
Substituo os valores numéricos k_{1}=100, k_{2}=50, k_{3}=80 para escrever A e \mathbf{b}.
O método de Jacobi converge para toda condição inicial se, e somente se, o raio espectral \rho(G) (maior valor absoluto dos autovalores de G) satisfizer \rho(G)<1. Uma condição suficiente simples, fácil de checar na prova, é a dominância diagonal estrita por linhas:
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\quad\text{para todas as linhas }i.
Se essa desigualdade for verdadeira para todas as linhas, então Jacobi converge. Se não for, não significa automaticamente que Jacobi diverge — é preciso analisar \rho(G).
Vou verificar a dominância diagonal linha a linha para A.
Conclusão parcial: a matriz não é estritamente diagonal dominante em todas as linhas (tem igualdade nas linhas 2 e 3). Portanto não posso garantir convergência apenas pela condição suficiente da dominância diagonal estrita. Preciso então calcular explicitamente a matriz de iteração G e verificar o raio espectral.
Como \rho(G)<1, as iterações de Jacobi convergem para a solução do sistema para qualquer aproximação inicial.]
Passo 7
Interpretação final (motivação para a prova): mesmo que a dominância diagonal estrita falhe em algumas linhas, isso não implica divergência; o teste definitivo é o raio espectral de G. Aqui calculei explicitamente G e seus autovalores, e encontrei \rho(G)<1, logo Jacobi converge. Assim é perfeitamente possível aplicar o método de Jacobi a este sistema.
Resposta
Sim. O método de Jacobi converge, pois a matriz de iteração tem raio espectral \displaystyle \rho(G)=\sqrt{\tfrac{29}{39}}\approx0{,}862<1.