Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) Todas as soluções aproximadas de equações mal condicionadas fornecem resíduos pequenos. \square
b) Considerando um sistema \mathrm{Ax}=\mathrm{b}, se o número de condição de A é grande, então pequenas perturbações relativas em b produzirão pequenas perturbações relativas em x, e o problema de resolver A x =\mathrm{b} é mal condicionado. \square
c) Quanto mais mal condicionado um sistema \mathrm{Ax}=\mathrm{b} for, maior será o número de condição de A . \square
d) O número de condição de uma matriz A será considerado grande quando o valor for por volta de 10^{3} ou mais. \square
e) O sistema \begin{aligned} & 1,2979 x_{1}+0,8648 x_{2}=0.8642 \\\ & 0,2162 x_{1}+0,1441 x_{2}=0.1440 \text { não é }\end{aligned} 0,2162 x_{1}+0,1441 x_{2}=0.1440ãé mal condicionado. \square
f) Quanto mais mal condicionado um sistema \mathrm{Ax}=\mathrm{b} for, menor será a influência da perturbação \delta \mathrm{A} em A na solução x .
\square

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre condição de sistemas lineares como verdadeira ou falsa. O conteúdo é propagação de erros em Ax=b: definimos o resíduo, o erro direto (forward error), o número de condição \kappa(A) e as desigualdades que relacionam pequenas perturbações em b ou em A com variações em x.

Passo 2

Definimos o resíduo como \;r=b-A\tilde x, e o erro direto como \;\delta x=\tilde x - x. Para perturbação em b obtém-se
\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le \kappa(A)\,\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}.
Mesmo que \|\delta b\| seja pequeno, se \kappa(A) é grande o erro \|\delta x\| pode ser grande. Logo, afirmar que todas as soluções aproximadas de equações mal condicionadas fornecem resíduos pequenos é falso. (a) é falsa.

Passo 3

Pela mesma desigualdade, se \kappa(A) é grande, pequenas perturbações relativas em b geram grandes perturbações relativas em x. A afirmação (b) diz justamente o contrário (“pequenas perturbações em b produzem pequenas em x e ainda afirmam que isso caracteriza mal condicionamento”), o que está errado. Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Por definição, quanto mais mal condicionado o sistema Ax=b for, maior será o número de condição \kappa(A). Isso corresponde exatamente à afirmação (c), que é verdadeira.

Passo 5

Como regra prática, considera-se que \kappa(A) já é “grande” a partir de valores da ordem de 10^{3}. Desse modo, a afirmação (d) está de acordo com o critério usual e é verdadeira.

Passo 6

No sistema
\begin{cases} 1{,}2979\,x_{1}+0{,}8648\,x_{2}=0{,}8642,\\\\ 0{,}2162\,x_{1}+0{,}1441\,x_{2}=0{,}1440, \end{cases}
as equações são quase múltiplas (razões de coeficientes próximas a 6), logo a matriz é quase singular e o sistema é muito mal condicionado. A afirmação (e), que diz que não é mal condicionado, é falsa.

Passo 7

Para perturbação na própria matriz A temos um resultado análogo:
\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le \kappa(A)\,\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}+\text{(termos menores)}.
Se \kappa(A) é grande, a influência de \delta A em x também é grande, não pequena. Logo a afirmação (f) é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Falsa

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