Calcule a inversa da matriz abaixo utilizando a decomposição de Cholesky. OBS: use uma aproximação de 3 casas decimais.
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 10 & 2 \\\\ -1 & 2 & 4\end{array}\right]
a. \quad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}0,667 & -0,111 & 0,222 \\\\ -0,111 & 0,230 & -0,093 \\\\ 0,222 & -0,093 & 0,352\end{array}\right]
b. \quad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}0,767 & -0,111 & 0,222 \\\\ -0,111 & 0,130 & -0,093 \\\\ 0,222 & -0,093 & 0,352\end{array}\right]
c. \quad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}0,667 & -0,111 & 0,333 \\\\ -0,111 & 0,130 & -0,093 \\\\ 0,333 & -0,093 & 0,352\end{array}\right]
d. \quad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}0,667 & -0,111 & 0,222 \\\\ -0,111 & 0,130 & -0,093 \\\\ 0,222 & -0,093 & 0,452\end{array}\right]
e. \quad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}0,667 & -0,111 & 0,222 \\\\ -0,111 & 0,130 & -0,093 \\\\ 0,222 & -0,093 & 0,352\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 1 & 10 & 2\\\\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}
usando decomposição de Cholesky e arredondando a três casas decimais. Como A é simétrica definida positiva, podemos escrever
A = L\,L^{T}
com L triangular inferior.

Passo 2

Calculamos os elementos de L = (l_{ij}):
l_{11} = \sqrt{2}\approx1{,}414,\quad l_{21} = \frac{1}{l_{11}}\approx0{,}707,\quad l_{31} = \frac{-1}{l_{11}}\approx-0{,}707,
l_{22} = \sqrt{10 - l_{21}^2} = \sqrt{9{,}5}\approx3{,}082,\quad l_{32} = \frac{2 - l_{31}l_{21}}{l_{22}}\approx0{,}811,
l_{33} = \sqrt{4 - l_{31}^2 - l_{32}^2}\approx1{,}685.
Logo
L \approx \begin{pmatrix} 1{,}414 & 0 & 0\\\\ 0{,}707 & 3{,}082 & 0\\\\ -0{,}707& 0{,}811 & 1{,}685 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter A^{-1}, resolvemos para cada vetor canônico \mathrm{e}_i:
L\,y_i = \mathrm{e}_i,\quad L^{T}x_i = y_i,
pela substituição direta. Os vetores resultantes são aproximadamente
x_1 \approx \begin{pmatrix}0{,}667\\\ -0{,}111\\\ 0{,}222\end{pmatrix},\quad x_2 \approx \begin{pmatrix}-0{,}111\\\ 0{,}130\\\ -0{,}093\end{pmatrix},\quad x_3 \approx \begin{pmatrix}0{,}222\\\ -0{,}093\\\ 0{,}352\end{pmatrix}.

Passo 4

Agrupando as colunas x_1,x_2,x_3 e arredondando a três casas decimais, obtemos
A^{-1} \approx \begin{pmatrix} 0{,}667 & -0{,}111 & 0{,}222\\\\ -0{,}111 & 0{,}130 & -0{,}093\\\\ 0{,}222 & -0{,}093 & 0{,}352 \end{pmatrix}.

Resposta

A alternativa correta é a (e).

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