Use a Regra dos Trapézios Repetida, com o menor n (número de subintervalos) possível, para calcular uma aproximação da integral \int_{-1,28}^{-1,28+1} x e^{x^{3}} d x de modo a garantir um erro inferior a 0,005.
Observação: Para garantir maior precisão, trabalhe com seis casas decimais nesta questão. Ao final, escolha a opção mais próxima da sua resposta.
a. -0,3826
b. -0,2044
c. -0,3819
d. -0,3787
e. -0,3813

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-1,28}^{-0,28} x\,e^{x^3}\,dx
usando a Regra dos Trapézios Repetida e escolhendo o menor n que garanta erro absoluto inferior a 0,005. Vamos precisar (i) da fórmula do erro do trapézio e (ii) de um majorante de \bigl|f''(x)\bigr| em [-1,28,\,-0,28], onde f(x)=x e^{x^3}.

Passo 2

Calculamos f''(x). Primeiro
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x e^{x^3}\bigr) =e^{x^3}+x\cdot e^{x^3}\cdot3x^2 =e^{x^3}(1+3x^3).
Em seguida,
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{x^3}(1+3x^3)\bigr] =e^{x^3}\bigl[3x^2(1+3x^3)\bigr]+e^{x^3}\cdot9x^2 =3x^2(4+3x^3)\,e^{x^3}.

Passo 3

Para usar o erro do trapézio
E_T\le\frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max_{x\in[a,b]}\bigl|f''(x)\bigr|,
avaliamos \bigl|f''(x)\bigr| nos extremos x=-1,28 e x=-0,28:
em x=-1,28, \bigl|f''(-1,28)\bigr|\approx1,379;
em x=-0,28, \bigl|f''(-0,28)\bigr|\approx0,905.
Logo, podemos tomar
M=\max_{[-1,28,-0,28]}\bigl|f''(x)\bigr|\approx1,38.

Passo 4

Como b-a=1, o erro satisfaz
E_T\le\frac{1^3}{12\,n^2}\,M =\frac{M}{12\,n^2} <0,005 \quad\Longrightarrow\quad n^2>\frac{M}{12\cdot0,005}\approx22,97 \quad\Longrightarrow\quad n>4,79.
O menor n inteiro que atende é n=5.

Passo 5

Com n=5, o passo é h=\frac{1}{5}=0,2 e os nós são
x_i=-1,28+0,2\,i,\quad i=0,1,\dots,5.
Calculamos f(x_i)=x_i e^{x_i^3} com seis casas decimais:
\begin{aligned} f_0&=f(-1,28)\approx-0,157258,\\\ f_1&=f(-1,08)\approx-0,306517,\\\ f_2&=f(-0,88)\approx-0,445174,\\\ f_3&=f(-0,68)\approx-0,497944,\\\ f_4&=f(-0,48)\approx-0,429936,\\\ f_5&=f(-0,28)\approx-0,273907. \end{aligned}
A Regra dos Trapézios dá
T_5 =0,2\Biggl[\frac{f_0+f_5}{2}+\sum_{i=1}^{4}f_i\Biggr] =0,2\bigl[-0,215583-1,679571\bigr] \approx-0,379031.

Passo 6

Comparando com as opções, o valor mais próximo de -0,37903 é -0,3787.

Resposta

d. -0,3787

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