Calcule os números de condição da matriz A abaixo na norma matricial p para p=1,2 e \infty, OBS: utilize 4 casas decimais de precisão.
A=\left[\begin{array}{ll}71 & 41 \\\\ 51 & 30\end{array}\right]
a) k_{1}(\mathrm{~A}) \approx 349,36
k_{2}(A) \approx 262,12
k_{\infty}(A) \approx 349,36
b) k_{1}(A) \approx 351,36
k_{2}(A) \approx 262,12
k_{\infty}(A) \approx 351,36
c) k_{1}(A) \approx 350,36
k_{2}(A) \approx 263,12
k_{\infty}(A) \approx 350,36
d) k_{1}(\mathrm{~A}) \approx 350,36
k_{2}(A) \approx 262,12
k_{\infty}(A) \approx 350,36
e) k_{1}(A) \approx 350,36
k_{2}(A) \approx 261,12
k_{\infty}(A) \approx 350,36

Passo 1

O enunciado pede os números de condição \kappa_{p}(A)=\|A\|_{p}\,\|A^{-1}\|_{p}
para p=1,2,\infty, usando quatro casas decimais. A matriz é
A=\begin{pmatrix}71&41\\\ 51&30\end{pmatrix}.
Para p=1 usamos norma de coluna ( \max da soma das colunas), para p=\infty norma de linha ( \max da soma das linhas) e para p=2 usaremos razão de valores singulares.

Passo 2

Calculemos \det(A) e A^{-1}.
\det(A)=71\cdot30-41\cdot51=2130-2091=39,
A^{-1}=\frac1{39}\begin{pmatrix}30&-41\\\ -51&71\end{pmatrix}.

Passo 3

Norma 1 e seu inverso:
\|A\|_{1}=\max\{\,|71|+|51|,\;|41|+|30|\,\}=\max\{122,71\}=122,
\|A^{-1}\|_{1} =\max\Bigl\{\frac{30+51}{39},\;\frac{41+71}{39}\Bigr\} =\frac{112}{39}\approx2,8718.
Logo
\kappa_{1}(A)=122\cdot\frac{112}{39} =\frac{13664}{39}\approx350,35897\approx350,36.

Passo 4

Norma \infty e seu inverso:
\|A\|_{\infty}=\max\{\,71+41,\;51+30\,\}=\max\{112,81\}=112,
\|A^{-1}\|_{\infty} =\max\Bigl\{\frac{30+41}{39},\;\frac{51+71}{39}\Bigr\} =\frac{122}{39}\approx3,1282.
Logo
\kappa_{\infty}(A)=112\cdot\frac{122}{39} =\frac{13664}{39}\approx350,36.

Passo 5

Número de condição 2 usando valores singulares. Primeiro A^T A:
A^T A=\begin{pmatrix}7642&4441\\\ 4441&2581\end{pmatrix}, \operatorname{tr}=10223, \det=1521. Os autovalores são
\lambda_{\pm} =\frac{10223\pm\sqrt{10223^2-4\cdot1521}}{2} \approx10222,8512\quad\text{e}\quad0,1488.
Os valores singulares são \sigma_{1}=\sqrt{10222,8512}\approx101,1081 e \sigma_{2}=\sqrt{0,1488}\approx0,3857.
Logo
\kappa_{2}(A)=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} \approx\frac{101,1081}{0,3857}\approx262,12.

Resposta

A alternativa correta é a (d): \kappa_{1}(A)\approx350,36, \kappa_{2}(A)\approx262,12, \kappa_{\infty}(A)\approx350,36.

Exercícios relacionados