Associe cada equação diferencial com sua família de soluções.
Passo 1
Beleza, a questão pede o seguinte: “Associe a equação diferencial
com sua família de soluções.”
Isso é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem, bem simples — basta lembrar que derivada e integral são operações inversas. Vamos usar integração indefinida para encontrar todas as funções cuja derivada é
.
Isso é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem, bem simples — basta lembrar que derivada e integral são operações inversas. Vamos usar integração indefinida para encontrar todas as funções
Passo 2
A gente sabe que
significa que, se eu integrar ambos os lados em relação a
, descubro
. Em notação:
No lado esquerdo, integrar
em
me devolve
. No direito, apliquei a regra básica de integral de potência.
Passo 3
Calculemos a integral do lado direito:
Mas, como é integral indefinida, sempre colocamos uma constante arbitrária
. Então o resultado completo é
Esse
representa a “família” de soluções: mudando
, você obtém diversas parábolas deslocadas para cima ou para baixo.
Resposta
A família de soluções da EDO
é