Associe cada equação diferencial com sua família de soluções.
dydx=2 x

Passo 1

Beleza, a questão pede o seguinte: “Associe a equação diferencial
dydx = 2x
com sua família de soluções.”
Isso é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem, bem simples — basta lembrar que derivada e integral são operações inversas. Vamos usar integração indefinida para encontrar todas as funções cuja derivada é .

Passo 2

A gente sabe que
dydx = 2x
significa que, se eu integrar ambos os lados em relação a integral dydx,dx = integral 2x,dx , descubro . Em notação:
No lado esquerdo, integrar em me devolve . No direito, apliquei a regra básica de integral de potência.

Passo 3

Calculemos a integral do lado direito:
integral 2x,dx = 2integral x,dx = 2cdotx^22 = x^2
Mas, como é integral indefinida, sempre colocamos uma constante arbitrária y(x) = x^2 + C . Então o resultado completo é
Esse representa a “família” de soluções: mudando , você obtém diversas parábolas deslocadas para cima ou para baixo.

Resposta

A família de soluções da EDO boxedy(x) = x^2 + C, CinR é

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