Associe cada equação diferencial com sua família de soluções.
x dydx=y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente associar a equação diferencial
x ,dydx = y
com a sua família de soluções. Isso cai em “Equações de Variáveis Separáveis”, onde a gente vai isolar de um lado e do outro pra integrar. A teoria principal: separar variáveis e usar integração (como quem diz “ ”).

Passo 2

Começa separando as variáveis. A equação é
x,dydx=y
Se a gente dividir ambos os lados por 1y,dy = 1x,dx e por , fica
Aqui a ideia é exatamente essa: tudo que envolve num lado, tudo que envolve no outro.

Passo 3

Agora a gente integra cada lado:
  • À esquerda: ln|y| = ln|x| + C,.
  • À direita: .
Então obtemos

onde é a constante de integração.

Passo 4

Pra “desfazer” o log, a gente expõe:
|y| = e^ln|x| + C = e^C ,e^ln|x| = K,|x|,
em que y = K,x, é outra constante (podemos permitir positivo ou negativo, absorvendo o sinal). Assim,
que é a família geral de soluções dessa equação.

Resposta

A família de soluções associada a
x ,dydx = y
é
boxedy = K,x, KinR

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