Encontre uma solução para o seguinte problema de valor inicial utilizando o método indicado:
Equações exatas:
obtenha o fator
que torna a eq. exata.
Equações exatas:
Passo 1
Beleza, o problema é uma equação diferencial de “equações exatas” com condição inicial. A gente tem
e já nos deram o fator integrante que depende só de
:
O que vamos fazer:
- Verificar que a equação não é exata e ver como o
conserta isso. - Multiplicar tudo por
, ficar com uma eq. exata e achar a função potencial . - Ajustar a constante usando
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos tudo na forma
onde
A gente vê que
e
,
não bate, logo NÃO é exata. Então multiplica pelo fator integrante
e
não bate, logo NÃO é exata. Então multiplica pelo fator integrante
ficando
Agora é exata porque
e
.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Que dá (se usar
e separar termos)
Juntando os dois últimos termos:
Agora impomos
:
Ou seja,
.
Passo 4
Então a solução geral implícita é
Usamos
pra achar
:
Logo
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial, em forma implícita, é