Encontre uma solução para o seguinte problema de valor inicial utilizando o método indicado:
Equações exatas:
(x^2+y^2-5) d x=(y+x y) d y, y(0)=1
obtenha o fator u(x)=1 /(1+x)^3 que torna a eq. exata.

Passo 1

Beleza, o problema é uma equação diferencial de “equações exatas” com condição inicial. A gente tem
(x^2+y^2-5),dx = (y+x y),dy, y(0)=1
e já nos deram o fator integrante que depende só de u(x)=1(1+x)^3 :
O que vamos fazer:
  1. Verificar que a equação não é exata e ver como o conserta isso.
  2. Multiplicar tudo por , ficar com uma eq. exata e achar a função potencial .
  3. Ajustar a constante usando .

Passo 2

Primeiro, escrevemos tudo na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0,
onde
M(x,y)=x^2+y^2-5, N(x,y)=-(y+xy)
A gente vê que
u(x)=1(1+x)^3,
e
M1=x^2+y^2-5(1+x)^3, N1=-y(1+x)(1+x)^3=-y(1+x)^2 ,
não bate, logo NÃO é exata. Então multiplica pelo fator integrante
ficando
Agora é exata porque
e
.

Passo 3

Como é exata, existe partialPsipartial x=M1, partialPsipartial y=N1 tal que
Psi(x,y) =integralx^2+y^2-5(1+x)^3,dx + g(y)
Integramos Psi(x,y) =ln(1+x)+21+x -12(1+x)^2 -y^2-52(1+x)^2+g(y) em relação a Psi(x,y)=ln(1+x)+21+x +4-y^22(1+x)^2+g(y) :
partialPsipartial y =-y(1+x)^2+g'(y)equiv -y(1+x)^2 ;Longrightarrow;g'(y)=0
Que dá (se usar e separar termos)
Juntando os dois últimos termos:
Agora impomos :
Ou seja, .

Passo 4

Então a solução geral implícita é
Psi(x,y)=ln(1+x)+21+x +4-y^22(1+x)^2=C
Usamos ln1+21+4-1^22cdot1^2 =0+2+32=72 pra achar :
Logo .

Resposta

A solução do problema de valor inicial, em forma implícita, é
boxed ln(1+x)+21+x +4-y^22(1+x)^2 =72

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