Se y=C1 e^2 x+C2 x e^2 x é a solução geral de uma equação diferencial, então a ordem da equação é e a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y(0)=1, y^prime(0)=4 é dada por y= .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a solução geral de uma EDO é
y = C1e^2x + C2x,e^2x
A questão pede duas coisas:
  1. A ordem da equação diferencial.
  2. A solução específica que satisfaz e .
O assunto aqui é EDOs lineares de coeficientes constantes, em que a solução geral aparece a partir das raízes da equação característica. Para resolver a parte 2, vamos usar condições iniciais para achar e .

Passo 2

Determinar a ordem da equação diferencial:
Quando a solução geral envolve dois constantes arbitrárias ( e ), isso indica que precisamos de duas integrações para chegar nela. Ou seja, a ordem da EDO é 2.

Passo 3

Agora vamos encaixar as condições iniciais para achar y(0) = C1e^2cdot 0 + C2,0,e^2cdot 0 = C1cdot 1 + C2cdot 0 = C1 e C1 = 1 .
  1. Primeiro, calcule y(x)=C1e^2x + C2,x,e^2x :
ddxl(x,e^2xr) = 1cdot e^2x + xcdot 2e^2x = e^2x + 2x,e^2x
Mas sabemos que y'(x) = C1cdot 2e^2x + C2l(e^2x + 2x,e^2xr) = 2C1e^2x + C2e^2x + 2C2x,e^2x . Logo,
y'(0) = 2C1e^0 + C2e^0 + 2C2cdot 0 cdot e^0 = 2C1 + C2
  1. Em seguida, precisamos de 2cdot 1 + C2 = 4 Longrightarrow C2 = 2 . Vamos derivar
Para derivar a segunda parte usamos a regra do produto:
Então
Agora avalie em :
E sabemos que . Substituindo :

Resposta

Ordem da equação: 2.
Solução para as condições iniciais:
boxedy = e^2x + 2x,e^2x = e^2x(1 + 2x)

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