Se
é a solução geral de uma equação diferencial, então a ordem da equação é
e a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial
é dada por
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a solução geral de uma EDO é
A questão pede duas coisas:
- A ordem da equação diferencial.
- A solução específica que satisfaz
e .
O assunto aqui é EDOs lineares de coeficientes constantes, em que a solução geral aparece a partir das raízes da equação característica. Para resolver a parte 2, vamos usar condições iniciais para achar
e
.
Passo 2
Determinar a ordem da equação diferencial:
Quando a solução geral envolve dois constantes arbitrárias ( e
), isso indica que precisamos de duas integrações para chegar nela. Ou seja, a ordem da EDO é 2.
Quando a solução geral envolve dois constantes arbitrárias (
Passo 3
Agora vamos encaixar as condições iniciais para achar
e
.
- Primeiro, calcule
:
Mas sabemos que
. Logo,
- Em seguida, precisamos de
. Vamos derivar
Para derivar a segunda parte usamos a regra do produto:
Então
Agora avalie em
:
E sabemos que
. Substituindo
:
Resposta
Ordem da equação: 2.
Solução para as condições iniciais:
Solução para as condições iniciais: