Q2: Assumindo que cc2 & -1 5 & 3, calcule |B|2=sigma1 e o número de condição kappa2(B)=sigma1sigma2.
Idem para cc2 & -1 -1 & 3.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar, para duas matrizes 2×2 diferentes, a norma-2 (que é o maior valor singular, chamado de σ₁) e o número de condição na norma-2, κ₂ = σ₁/σ₂. O conteúdo envolvido é Singular Value Decomposition (SVD) em versão simplificada: saber que os valores singulares de B são √(autovalores de BᵀB). Vamos precisar calcular BᵀB, achar seus autovalores e tirar raiz quadrada.

Passo 2

Antes de tocar os cálculos, recapitula a teoria:
  1. Para qualquer matriz real B, BᵀB é simétrica e tem autovalores reais não-negativos.
  2. Os valores singulares de B são as raízes quadradas desses autovalores: σ_i = √λ_i(BᵀB).
  3. A norma-2 de B, ‖B‖₂, é o maior valor singular σ₁.
  4. O número de condição κ₂(B) em norma-2 é σ₁/σ₂ (relação entre maior e menor singular).

Passo 3

Matriz 1: B = 2 & -15 & 3.
  1. Calcular BᵀB:
BᵀB = 2&5-1&32&-15&3 = 29 & 13 13 & 10
  1. Achar autovalores λ de 29&1313&10.
    • Traço τ = 29+10 = 39.
    • Determinante Δ = 29·10 − 13·13 = 290 −169 = 121.
    • Fórmula: λ = τ pm raizτ^2 - 4Δ2 = 39 pm raiz39^2 - 4cdot1212 = 39 pm raiz1521 -4842 = 39 pm raiz10372
    Numericamente,
    λ₁ ≈35.6091, λ₂ ≈3.3909.
  2. Valores singulares:
    σ₁ = raizλ₁ approx raiz35.6091 approx 5.967, σ₂ = raizλ₂ approx raiz3.3909approx1.841
  3. Número de condição:
    κ₂ = σ₁σ₂ approx 5.9671.841approx3.240

Passo 4

Matriz 2: B = 2 & -1-1 & 3.
  1. BᵀB = B² (porque B é simétrica):
BᵀB = 2&-1-1&3^2 = 5 & -5 -5 &10
  1. Autovalores:
    • Traço τ = 5+10=15.
    • Det Δ = 5·10 −(−5)·(−5)=50−25=25.
    • λ = 15 pm raiz15^2 -4cdot252 = 15 pm raiz225 -1002 = 15 pm raiz1252 = 15 pm 5raiz52
    Numericamente,
    λ₁ ≈13.0902, λ₂ ≈1.9098.
  2. Valores singulares:
    σ₁ = raiz13.0902approx3.619, σ₂ = raiz1.9098approx1.382
  3. Número de condição:
    κ₂ = σ₁σ₂approx3.6191.382approx2.619

Resposta

Para B = 2 & -15 & 3:
σ₁ ≈ 5.967 e κ₂ ≈ 3.240.
Para B = 2 & -1-1 & 3:
σ₁ ≈ 3.619 e κ₂ ≈ 2.619.

Exercícios relacionados