Q2: Assumindo que
, calcule
e o número de condição
.
Idem para
.
Idem para
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente achar, para duas matrizes 2×2 diferentes, a norma-2 (que é o maior valor singular, chamado de σ₁) e o número de condição na norma-2, κ₂ = σ₁/σ₂. O conteúdo envolvido é Singular Value Decomposition (SVD) em versão simplificada: saber que os valores singulares de B são √(autovalores de BᵀB). Vamos precisar calcular BᵀB, achar seus autovalores e tirar raiz quadrada.
Passo 2
Antes de tocar os cálculos, recapitula a teoria:
- Para qualquer matriz real B, BᵀB é simétrica e tem autovalores reais não-negativos.
- Os valores singulares de B são as raízes quadradas desses autovalores: σ_i = √λ_i(BᵀB).
- A norma-2 de B, ‖B‖₂, é o maior valor singular σ₁.
- O número de condição κ₂(B) em norma-2 é σ₁/σ₂ (relação entre maior e menor singular).
Passo 3
Matriz 1: B =
.
- Calcular BᵀB:
-
Achar autovalores λ de
. - Traço τ = 29+10 = 39.
- Determinante Δ = 29·10 − 13·13 = 290 −169 = 121.
- Fórmula:
Numericamente,
λ₁ ≈35.6091, λ₂ ≈3.3909. -
Valores singulares:
-
Número de condição:
Passo 4
Matriz 2: B =
.
- BᵀB = B² (porque B é simétrica):
-
Autovalores:
- Traço τ = 5+10=15.
- Det Δ = 5·10 −(−5)·(−5)=50−25=25.
-
Numericamente,
λ₁ ≈13.0902, λ₂ ≈1.9098. -
Valores singulares:
-
Número de condição:
Resposta
Para B =
:
σ₁ ≈ 5.967 e κ₂ ≈ 3.240.
σ₁ ≈ 5.967 e κ₂ ≈ 3.240.
Para B =
:
σ₁ ≈ 3.619 e κ₂ ≈ 2.619.
σ₁ ≈ 3.619 e κ₂ ≈ 2.619.