Q1: Determine os autovalores de cc3 & -1 10 & 5 e de ccc1 & 7 & -1 0 & -1 & 8 0 & 0 & -4.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os autovalores (também chamados de valores próprios) de duas matrizes:
A = 3 & -1 [6pt] 10 & 5 e
B = 1 & 7 & -1 [4pt] 0 & -1 & 8 [4pt] 0 & 0 & -4.
O conteúdo aqui é Autovalores: precisamos montar o polinômio característico e achar suas raízes. No caso da matriz triangular B, tem um atalho: os autovalores são os elementos da diagonal.

Passo 2

Vamos começar com A:
  1. Definimos 3-lambda & -1 [4pt]10 & 5-lambda.
  2. Calculamos o determinante e igualamos a zero:
det(A-lambda I) = (3-lambda)(5-lambda) - (-1)cdot 10 = (3-lambda)(5-lambda) + 10
  1. Expandindo:
(3-lambda)(5-lambda) = 15 -3lambda -5lambda + lambda^2 = lambda^2 -8lambda +15,
então
det(A-lambda I) = lambda^2 -8lambda +15 +10 = lambda^2 -8lambda +25
  1. Resolvendo lambda = 8 pm raiz-362 = 8 pm 6i2 = 4 pm 3i :
    • Discriminante
    • Como , temos raízes complexas:

Passo 3

Agora a matriz B, que é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero):
B = 1 & 7 & -1 0 & -1 & 8 0 & 0 & -4
Teorema prático: se a matriz é triangular, seu polinômio característico é
.
Logo, as raízes (autovalores) são exatamente os valores da diagonal:

Resposta

Autovalores de A: e
Autovalores de B:

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