Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x^3-x-1=0

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos achar a(s) raiz(es) reais da equação
x^3 - x - 1 = 0
usando dois métodos numéricos (bisseção e Newton–Raphson) com precisão .
Conteúdo envolvido:
- Teorema do Valor Intermediário (para garantir existência de raiz num intervalo).
- Método da Bisseção (divide intervalo até ter erro menor que ).
- Método de Newton (usa derivada para convergência rápida).
O que precisamos: a função , sua derivada , um intervalo inicial com e um chute inicial para Newton.

Passo 2

Método da Bisseção
  1. Escolhe um intervalo m = a+b2 onde N approx lceil log2b-avarepsilonrceil = lceil log2110^-6rceil approx 20 e xbis approx 1.324717521 tenham sinais opostos.

    • Logo, há pelo menos uma raiz em .
  2. A cada iteração calcula-se o ponto médio e avalia-se . Se , a raiz está em ; senão, está em .
  3. Para garantir erro no valor de menor que , basta repetir até .
  4. Número de iterações necessárias:
  5. Após ~20 iterações obtemos

Passo 3

Método de Newton–Raphson
  1. Fórmula iterativa: xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f(x)=x^3-x-1,;f'(x)=3x^2-1
  2. Escolhe um chute inicial razoável, por exemplo xnewt approx 1.324717957 .
  3. Itera até :
    • (já satisfaz )
  4. Resultado:

Passo 4

Comparação:
  • Bisseção: cerca de 20 iterações, resultado .
  • Newton: cerca de 4 iterações, resultado .
    Newton converge muito mais rápido, mas exige conhecimento de . Bisseção é mais robusta (só precisa de sinais opostos).

Resposta

A única raiz real de x approx 1.32471796 é
obtida com precisão .

Exercícios relacionados