Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão . Compare os resultados.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos achar a(s) raiz(es) reais da equação
usando dois métodos numéricos (bisseção e Newton–Raphson) com precisão .
Conteúdo envolvido:
- Teorema do Valor Intermediário (para garantir existência de raiz num intervalo).
- Método da Bisseção (divide intervalo até ter erro menor que ).
- Método de Newton (usa derivada para convergência rápida).
O que precisamos: a função , sua derivada , um intervalo inicial com e um chute inicial para Newton.
Passo 2
Método da Bisseção
Escolhe um intervalo onde e tenham sinais opostos.
Logo, há pelo menos uma raiz em .
A cada iteração calcula-se o ponto médioe avalia-se . Se , a raiz está em ; senão, está em .
Para garantir erro no valor de menor que , basta repetir até .
Número de iterações necessárias:
Após ~20 iterações obtemos
Passo 3
Método de Newton–Raphson
Fórmula iterativa:
Escolhe um chute inicial razoável, por exemplo .
Itera até :
(já satisfaz )
Resultado:
Passo 4
Comparação:
Bisseção: cerca de 20 iterações, resultado .
Newton: cerca de 4 iterações, resultado .
Newton converge muito mais rápido, mas exige conhecimento de . Bisseção é mais robusta (só precisa de sinais opostos).