Em uma aula de matemática, a professora resolveu propor uma atividade prática aos seus alunos com o uso de teodolito. Os alunos foram divididos em grupos e deveriam calcular a altura de algum dos prédios da escola. Um dos grupos decidiu identificar a altura do prédio 2. Para isso, Pedro se posicionou com o teodolito a 12 m de distância do prédio e, estando sua linha de visão a
de altura em relação ao solo, verificou que avistava o topo do prédio sob o ângulo de
com relação ao plano horizontal. Considere:
,
e
.
De acordo com as medidas determinadas pelo grupo de alunos, qual a altura, em metro, do prédio 2?
De acordo com as medidas determinadas pelo grupo de alunos, qual a altura, em metro, do prédio 2?
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: a gente quer descobrir a altura total do prédio 2. É um problema de trigonometria bem clássico, usando um teodolito que fica a 12 m da base do prédio e a 1,82 m de altura do chão (é a altura do equipamento). A linha de visão até o topo faz um ângulo de 47° com o chão. Eles já deram as razões trigonométricas:
, e .
O que precisamos usar aqui é a definição de tangente num triângulo retângulo:
,
O que precisamos usar aqui é a definição de tangente num triângulo retângulo:
Então, do ponto do teodolito até o topo, o “cateto oposto” é a altura extra do prédio acima dos 1,82 m, e o “cateto adjacente” é a distância horizontal de 12 m.
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente (ou no rascunho) um triângulo retângulo:
- A base é 12 m (distância do teodolito até o prédio).
- A altura “desconhecida” é quanto o prédio se levanta acima dos 1,82 m. Chama isso de
. - O ângulo na base é 47°.
Pela definição de tangente:
Passo 3
Agora isolamos
:
E já sabemos .
Passo 4
Substituindo o valor numérico:
Essa é a altura do prédio acima da linha de visão (1,82 m).
Passo 5
Para achar a altura total do prédio, somamos a parte que está abaixo da linha de visão (1,82 m) com esses 12,84 m:
Resposta
A altura do prédio 2 é 14,66 m.