A soma dos 10 primeiros termos de uma Progressão Aritmética é 205 e a soma dos seus 15 primeiros termos é 420
Com base nessas informações, qual a soma dos 20 primeiros termos dessa Progressão Aritmética?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma Progressão Aritmética (PA) cuja soma dos 10 primeiros termos vale 205 e a soma dos 15 primeiros termos vale 420. A pergunta é: qual é a soma dos 20 primeiros termos dessa PA?
Conteúdo: soma dos termos de uma PA, cuja fórmula geral é
Sn = n2,l(2a1 + (n-1)dr)
Onde é o primeiro termo e é a razão. Vamos usar essa fórmula para e , encontrar e , e aí calcular para .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação pra S10 = 102l(2a1 + (10-1)dr) =5l(2a1 + 9dr) =205 .
Pela fórmula:
2a1 + 9d = 2055 = 41
Isso vira:

Passo 3

Agora a equação pra S15 = 152l(2a1 + (15-1)dr) =7,5l(2a1 + 14dr) =420 :
2a1 + 14d = 4207,5 = 56
Logo:

Passo 4

Temos o sistema:
2a1 + 9d = 41, 2a1 + 14d = 56
Subtraindo a primeira da segunda:
(2a1+14d)-(2a1+9d)=56-41 ;Rightarrow; 5d = 15 ;Rightarrow; d = 3
Aí volta em 2a1 + 9cdot3 = 41 ;Rightarrow; 2a1 +27 =41 ;Rightarrow; 2a1 =14 ;Rightarrow; a1 =7 :

Passo 5

Agora que sabemos S20 = 202l(2cdot7 + (20-1)cdot3r) =10l(14 + 19cdot3r) =10l(14 +57r) =10times71 =710 e , calculamos :

Resposta

A soma dos 20 primeiros termos é 710.

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