Um treinador de futebol precisa reestruturar sua equipe para um jogo decisivo, pois teve baixas em razão de lesões e suspensões em jogos anteriores. Ele tem a sua disposição no banco de reservas 5 atacantes, 4 meio-campistas e 3 defensores e, entre eles, deverá escolher 2 atacantes, 2 meio-campistas e 1 defensor para o jogo.
De quantas maneiras diferentes o treinador pode escolher os jogadores?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um treinador tem 5 atacantes, 4 meio-campistas e 3 defensores no banco e precisa escolher 2 atacantes, 2 meio-campistas e 1 defensor.
Conteúdo: contagem de combinações.
O que vamos precisar: a fórmula de combinação para cada posição e depois multiplicar os resultados.

Passo 2

Teoria de combinação: quando a ordem não importa (só importa quem está no time), usamos
C(n,k) = n!k!(n-k)!,
onde é o fatorial de . Isso dá o número de maneiras de escolher elementos entre .

Passo 3

Calcular cada escolha:
  • Atacantes: C(5,2) = 5!2!3! = 5cdot4cdot3!2cdot1cdot3! = 10 C(4,2) = 4!2!2! = 4cdot3cdot2!2cdot1cdot2! = 6
  • Meio-campistas: C(3,1) = 3!1!2! = 3cdot2!1cdot2! = 3
  • Defensores:

Passo 4

Como cada escolha é independente, multiplicamos:
10 times 6 times 3 = 180

Resposta

O treinador pode escolher os jogadores de 180 maneiras diferentes.

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