A3 Avalie as expressões abaixo em um sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos. Compute o erro relativo em cada operação executada e no resultado final. Identifique qual a operação contribuiu mais expressivamente para o erro final.
72126+24.821-72160

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular

num sistema de ponto-flutuante com 5 dígitos significativos, arredondando a cada operação. A gente precisa:
  1. Normalizar e arredondar cada número a 5 dígitos.
  2. Fazer a soma, arredondar de novo.
  3. Fazer a subtração, arredondar de novo.
  4. Calcular o erro relativo de cada operação (diferença entre o valor flutuante e o exato, dividido pelo exato).
  5. Calcular o erro relativo final e ver qual operação “fez mais sujeira”.

Passo 2

Primeira operação:
72126 + 24.821
  1. Normalizo pra formato 72126 = 7.2126times10^4, 24.821 = 2.4821times10^1 = 0.0024821times10^4 :
72126 + 24.821 = 72150.821
  1. Somo exatamente (antes do arred.):
72150.821 = 7.2150821times10^4 longrightarrow 7.2151times10^4 = 72151
  1. Agora arredondo a 5 dígitos significativos:
varepsilon1 = l|,72151 - 72150.821r|72150.821 approx 0.17972150.821 approx 2.48times10^-6
  1. Erro relativo dessa soma:

Passo 3

Segunda operação:
(resultado acima) 72151 72151 - 72160 = -9 72160
  1. Subtraio exatamente antes de arredondar:
varepsilon2 = l|,-9 - (-9)r|| -9 | = 0
  1. Em 5 dígitos: continua .
  2. Erro relativo local dessa subtração (do arredondamento nela) é

Passo 4

Erro relativo final: a resposta exata da expressão inteira é
72126 + 24.821 - 72160 = 72150.821 - 72160 = -9.179
Nosso resultado em ponto-flutuante foi varepsilonrm final = l|,-9 - (-9.179)r|| -9.179 | = 0.1799.179 approx 1.95times10^-2 approx 1.95% . Logo
Reparou? A subtração entre números quase iguais (72151 e 72160) amplificou o pequeno erro da soma anterior — é aí que a “cancelação catastrófica” pega forte!

Resposta

  • Resultado final em ponto-flutuante (5 dígitos): .
  • Erro relativo da soma : .
  • Erro relativo da subtração : .
  • Erro relativo total .
  • A operação que mais contribuiu pro erro final foi a subtração, por causa da cancelação de dígitos.

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