Avalie as integrais:
I1=integral0^pi sen^2 x d x e I2=integral0^2 pi sen^2 x d x
usando os métodos a seguir: Quadratura de Gauss de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente estimar duas integrais
I1=integral0^pisin^2x,dx e I2=integral0^2pisin^2x,dx
usando a quadratura de Gauss de segunda ordem.
Matéria: integração numérica por quadratura de Gauss.
O que vamos precisar:
  • Transformar o intervalo integrala^bf(x),dxapproxb-a2sumi=1^2wi,f!l(tfracb+a2+tfracb-a2,xiir) para o padrão .
  • Saber que, para ordem 2, os nós são e os pesos .
  • Aplicar a fórmula

Passo 2

Explicando a fórmula:
  1. A gente mapeia x(xi)=b+a2+b-a2,xi para via
  1. O fator aparece porque .
  2. Como são dois pontos, somamos e multiplicamos por .

Passo 3

Integral x(xi)=pi2+pi2,xi, b-a2=pi2 :
  • Aqui I1approxpi2l[sin^2l(tfracpi2+tfracpi2raiz3r) +sin^2l(tfracpi2-tfracpi2raiz3r)r] , I1approxpi2times2cos^2!l(tfracpi2raiz3r) =pi,cos^2!l(tfracpi2raiz3r) .
  • Então
  • Usando ,
  • Aí entra uma identidade de trigonometria:
    .
    Logo cada termo vira e a soma dá .

Passo 4

Integral x(xi)=pi+pi,xi, b-a2=pi :
  • Aqui I2approxpil[sin^2l(pi+tfracpiraiz3r) +sin^2l(pi-tfracpiraiz3r)r] , I2approxpitimes2sin^2!l(tfracpiraiz3r) =2pi,sin^2!l(tfracpiraiz3r) .
  • Logo
  • Aplicando a fórmula:
  • Como , mas estamos elevando ao quadrado, isso vira em ambos.

Resposta

I1approx pi,cos^2!l(tfracpi2raiz3r)approx1,190 e I2approx 2pi,sin^2!l(tfracpiraiz3r)approx5,942

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