Considere a EDO de primeira ordem a seguir:
(A) Resolva a equação usando o método explícito de Euler com
.
(B) Resolva a equação usando o método de Euler modificado com
.
© Resolva a equação usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico com
.
A solução analítica da EDO é:
. Em cada letra, calcule o erro existente entre a solução exata e a solução numérica nos pontos em que a solução numérica é determinada.
(B) Resolva a equação usando o método de Euler modificado com
© Resolva a equação usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico com
A solução analítica da EDO é:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a EDO de 1ª ordem
com condição inicial
, no intervalo de
até
.
Temos a solução exata
Temos a solução exata
O que vamos usar para resolver numericamente (com passo
) é:
- Método de Euler explícito.
- Método de Euler modificado (Heun).
- Método de Runge–Kutta clássico de 4ª ordem.
E em cada caso vamos calcular o erro
nos pontos
,
e
.
Passo 2
Método de Euler explícito:
- Fórmula geral:
yn+1 = yn + h,f(xn,yn), f(x,y)=x,y - x^3 - Nós temos os nós
, , , .
Cálculo passo a passo:
- n=0:
.
. - n=1:
.
. - n=2:
.
.
Agora, a solução exata e os erros:
-
.
erro . -
.
erro . -
.
erro .
Passo 3
Método de Euler modificado (Heun):
- Ideia: predictor–corrector.
- Predictor
.yn+1 = yn + tfrac h2l(f(xn,yn)+frm predr) - Avalia
no nó avançado: . - Corrector
- Predictor
Cálculos:
- n=0:
.
.
.
. - n=1:
.
.
.
. - n=2:
.
.
.
.
Erros (comparando a exata):
- em 0,6:
, ,
erro . - em 1,2:
, exata , erro . - em 1,8:
, exata , erro .
Passo 4
Método de Runge–Kutta 4ª ordem:
- Definimos
yn+1=yn + h6l(k1 + 2k2 + 2k3 + k4r)
E depois
Cálculo rápido dos 3 passos:
-
n=0 → 1:
k₁=0,
k₂=f(0,3,1)=0,3–0,027=0,273,
k₃=f(0,3,1+0,6·0,273/2)=0,29757,
k₄=f(0,6,1+0,6·0,29757)=0,4911252.
→ . -
n=1 → 2:
k₁=0,4819359,
k₂=0,4480266,
k₃=0,4388711,
k₄=-0,0161407.
→ . -
n=2 → 3:
k₁=-0,0633773,
k₂=-1,3227410,
k₃=-1,8894551,
k₄=-5,3756775.
→ .
Erros:
- em 0,6: exata 1,162783 →
. - em 1,2: exata 1,385567 →
. - em 1,8: exata 0,1870 →
.
Resposta
-
Euler explícito (h=0,6):
y(0,6)=1,0000 (erro≈0,1628),
y(1,2)=1,2304 (erro≈0,1552),
y(1,8)=1,0795 (erro≈0,8925). -
Euler modificado (h=0,6):
y(0,6)=1,1152 (erro≈0,0476),
y(1,2)=1,2321 (erro≈0,1535),
y(1,8)≈–0,0079 (erro≈0,1949). -
Runge–Kutta 4 (h=0,6):
y(0,6)=1,16323 (erro≈0,00044),
y(1,2)=1,38719 (erro≈0,00162),
y(1,8)=0,20084 (erro≈0,0138).