Considere a EDO de primeira ordem a seguir:
d yd x=y x-x^3 de x=0 a x=1,8 com y(0)=1
(A) Resolva a equação usando o método explícito de Euler com h=0,6.
(B) Resolva a equação usando o método de Euler modificado com h=0,6.
© Resolva a equação usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico com h=0,6.
A solução analítica da EDO é: y=x^2-e^12 x^2+2. Em cada letra, calcule o erro existente entre a solução exata e a solução numérica nos pontos em que a solução numérica é determinada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a EDO de 1ª ordem
dydx = y,x ;-; x^3,
com condição inicial yrm exata(x) ;=; x^2 ;-; e^tfrac12 x^2 ;+;2 , no intervalo de en = l|yn - yrm exata(xn)r| até .
Temos a solução exata
O que vamos usar para resolver numericamente (com passo ) é:
  1. Método de Euler explícito.
  2. Método de Euler modificado (Heun).
  3. Método de Runge–Kutta clássico de 4ª ordem.
    E em cada caso vamos calcular o erro
nos pontos , e .

Passo 2

Método de Euler explícito:
  • Fórmula geral: yn+1 = yn + h,f(xn,yn), f(x,y)=x,y - x^3
  • Nós temos os nós
    , , , .
Cálculo passo a passo:
  1. n=0:
    .
    .
  2. n=1:
    .
    .
  3. n=2:
    .
    .
Agora, a solução exata e os erros:
  • .
    erro .
  • .
    erro .
  • .
    erro .

Passo 3

Método de Euler modificado (Heun):
  • Ideia: predictor–corrector.
    1. Predictor yn+1 = yn + tfrac h2l(f(xn,yn)+frm predr) .
    2. Avalia no nó avançado: .
    3. Corrector
Cálculos:
  1. n=0:
    .
    .
    .
    .
  2. n=1:
    .
    .
    .
    .
  3. n=2:
    .
    .
    .
    .
Erros (comparando a exata):
  • em 0,6: , ,
    erro .
  • em 1,2: , exata , erro .
  • em 1,8: , exata , erro .

Passo 4

Método de Runge–Kutta 4ª ordem:
  • Definimos
    yn+1=yn + h6l(k1 + 2k2 + 2k3 + k4r)

    E depois
Cálculo rápido dos 3 passos:
  1. n=0 → 1:
    k₁=0,
    k₂=f(0,3,1)=0,3–0,027=0,273,
    k₃=f(0,3,1+0,6·0,273/2)=0,29757,
    k₄=f(0,6,1+0,6·0,29757)=0,4911252.
    .
  2. n=1 → 2:
    k₁=0,4819359,
    k₂=0,4480266,
    k₃=0,4388711,
    k₄=-0,0161407.
    .
  3. n=2 → 3:
    k₁=-0,0633773,
    k₂=-1,3227410,
    k₃=-1,8894551,
    k₄=-5,3756775.
    .
Erros:
  • em 0,6: exata 1,162783 → .
  • em 1,2: exata 1,385567 → .
  • em 1,8: exata 0,1870 → .

Resposta

  1. Euler explícito (h=0,6):
    y(0,6)=1,0000 (erro≈0,1628),
    y(1,2)=1,2304 (erro≈0,1552),
    y(1,8)=1,0795 (erro≈0,8925).
  2. Euler modificado (h=0,6):
    y(0,6)=1,1152 (erro≈0,0476),
    y(1,2)=1,2321 (erro≈0,1535),
    y(1,8)≈–0,0079 (erro≈0,1949).
  3. Runge–Kutta 4 (h=0,6):
    y(0,6)=1,16323 (erro≈0,00044),
    y(1,2)=1,38719 (erro≈0,00162),
    y(1,8)=0,20084 (erro≈0,0138).

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