A equação de um círculo com raio 1 (círculo unitário) é dada por x^2+y^2=1, e sua área é A=pi. Consequentemente:
integral-1^1 raiz1-x^2 d x=pi2
Avalie a integral usando os métodos a seguir: Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em nove subintervalos.

Passo 1

Beleza, a questão quer aproximar
integral-1^1raiz1 - x^2,dx
usando a Regra de Simpson 3/8 com 9 subintervalos.
Conteúdo: integração numérica, mais especificamente a regra de Simpson 3/8.
O que vamos precisar:
  • A largura de cada subintervalo .
  • Os pontos (com ).
  • Os valores .
  • A fórmula da Regra de Simpson 3/8 para múltiplo de 3.

Passo 2

Primeiro acha-se
h = b - an = 1 - (-1)9 = 29
Então os nós são
xi = -1 + i,h = -1 + 2i9, i=0,1,dots,9

Passo 3

Agora computa-se
f(xi) = raiz1 - xi^2
Como a função é par, x0 &= -1, f0 = 0, x1 &= -1 + tfrac29approx -0.7778, f1approx0.6286, x2 &approx -0.5556, f2approx0.8316, x3 &approx -0.3333, f3approx0.9428, x4 &approx -0.1111, f4approx0.9938 . Vamos calcular os primeiros:
f5=f4,;f6=f3,;f7=f2,;f8=f1,;f9=f0=0
E por simetria:

Passo 4

A Regra de Simpson 3/8 para integrala^bf(x),dx approx 3h8l[f0 + f9 + 3sumsubstacki=1inotequiv0pmod3^8fi + 2sumsubstacki=3,6fir] diz:
S3 = f1+f2+f4+f5+f7+f8 approx 0.6286+0.8316+0.9938+0.9938+0.8316+0.6286 =4.9081
Vamos montar as somas:
  • Índices com coeficiente 3: S2 = f3+f6 approx 0.9428+0.9428 =1.8856 . integral-1^1raiz1-x^2,dx approx 3,(2/9)8l[0+0 + 3,S3 + 2,S2r] = 2/38l[3cdot4.9081 + 2cdot1.8856r]
  • Índices com coeficiente 2: 3cdot4.9081 =14.7243, 2cdot1.8856 =3.7712, . colchete = 14.7243 + 3.7712 = 18.4955,
Então
112times18.4955 approx 1.5413
Note que .

Resposta

A aproximação da integral pelo Método de Simpson 3/8 com 9 subintervalos é aproximadamente
boxed1.5413

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