Um tanque esférico de raio R=4 m é esvaziado por meio de um pequeno buraco circular de raio r=0,02 m localizado no fundo. O topo do tanque está aberto. O nível d
d hd t=-r^2 raiz2 g h2 h R-h^2
onde g=9,81 m / s^2. Se o nível d’água inicial em t=0 é h=6 m, determine o tempo necessário para drenar o tanque até um nível de 0,5 m utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um tanque esférico de raio R = 4 m cheio de água. No fundo tem um furo pequeno de raio r = 0,02 m e o topo tá aberto. O nível de água h(t) cai segundo a equação
dhdt ;=; -r^2,raiz2,g,h2,R,h ;-;h^2
com g = 9,81 m/s². Queremos usar o método numérico de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) para achar o tempo que leva de h(0)=6 m até h≈0,5 m. Preciso de noções de ODEs, achei o f(h) e vou usar o esquema de RK4 pra integrar até dar esse nível.

Passo 2

Antes de tudo, bora relembrar a ODE:
dhdt = f(h) = -r^2,raiz2,g,h2,R,h - h^2
Isso vem de Torricelli + conservação de volume: a área de saída é πr² e a área do corte horizontal do tanque é π(2Rh–h²), daí surge esse f(h). Agora a ideia do RK4: dado um passo de tempo Δt, a gente calcula 4 “penduricalhos” k₁, k₂, k₃, k₄ que são estimativas de dh/dt em pontos intermediários, e combina tudo pra ter uma aproximação de h no próximo passo.

Passo 3

Esquema do RK4 (com passo Δt):
  1. k₁ = f(hₙ)
  2. k₂ = f(hₙ + (Δt/2)·k₁)
  3. k₃ = f(hₙ + (Δt/2)·k₂)
  4. k₄ = f(hₙ + Δt·k₃)
    e então
hn+1 = hn + Δt6,l(k1 + 2,k2 + 2,k3 + k4r)
Cada kᵢ é avaliado com a mesma fórmula f(h). A gente repete isso até h ficar perto de 0,5 m e soma todos os Δt pra achar o tempo total.

Passo 4

Vamos escolher um Δt que balanceie precisão e esforço. Por exemplo Δt = 100 s (1,6 min). Em cada iteração:
  • calculo k₁ com hₙ
  • chute hₙ + k₁·Δt/2 pra achar k₂
  • chute hₙ + k₂·Δt/2 pra achar k₃
  • chute hₙ + k₃·Δt pra achar k₄
  • atualizo hₙ₊₁ e acumulo tempo tₙ₊₁ = tₙ + Δt
Fazendo isso em planilha ou código (só seguir o esquema) até h ≤ 0,5, obtém-se t ≈ 2,33×10⁴ s.

Passo 5

Pra dar um gostinho, a 1ª iteração ficaria:
h₀=6, k₁=f(6),
k₂=f(6 + 50·k₁), etc.
Não vou detalhar as 230 iterações, mas quem codar em Python/Excel vê direitinho o processo. O resultado converge pra cerca de 23300 s.

Resposta

O tempo necessário para drenar de 6 m até 0,5 m, usando RK4 com passo de 100 s, é aproximadamente
t approx 2,33 times 10^4,s
ou seja, cerca de 6,5 horas.

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