Um tanque esférico de raio
é esvaziado por meio de um pequeno buraco circular de raio
localizado no fundo. O topo do tanque está aberto. O nível d
onde
. Se o nível d’água inicial em
é
, determine o tempo necessário para drenar o tanque até um nível de
utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é um tanque esférico de raio R = 4 m cheio de água. No fundo tem um furo pequeno de raio r = 0,02 m e o topo tá aberto. O nível de água h(t) cai segundo a equação
com g = 9,81 m/s². Queremos usar o método numérico de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) para achar o tempo que leva de h(0)=6 m até h≈0,5 m. Preciso de noções de ODEs, achei o f(h) e vou usar o esquema de RK4 pra integrar até dar esse nível.
Passo 2
Antes de tudo, bora relembrar a ODE:
Isso vem de Torricelli + conservação de volume: a área de saída é πr² e a área do corte horizontal do tanque é π(2Rh–h²), daí surge esse f(h). Agora a ideia do RK4: dado um passo de tempo Δt, a gente calcula 4 “penduricalhos” k₁, k₂, k₃, k₄ que são estimativas de dh/dt em pontos intermediários, e combina tudo pra ter uma aproximação de h no próximo passo.
Passo 3
Esquema do RK4 (com passo Δt):
- k₁ = f(hₙ)
- k₂ = f(hₙ + (Δt/2)·k₁)
- k₃ = f(hₙ + (Δt/2)·k₂)
- k₄ = f(hₙ + Δt·k₃)
e então
Cada kᵢ é avaliado com a mesma fórmula f(h). A gente repete isso até h ficar perto de 0,5 m e soma todos os Δt pra achar o tempo total.
Passo 4
Vamos escolher um Δt que balanceie precisão e esforço. Por exemplo Δt = 100 s (1,6 min). Em cada iteração:
- calculo k₁ com hₙ
- chute hₙ + k₁·Δt/2 pra achar k₂
- chute hₙ + k₂·Δt/2 pra achar k₃
- chute hₙ + k₃·Δt pra achar k₄
- atualizo hₙ₊₁ e acumulo tempo tₙ₊₁ = tₙ + Δt
Fazendo isso em planilha ou código (só seguir o esquema) até h ≤ 0,5, obtém-se t ≈ 2,33×10⁴ s.
Passo 5
Pra dar um gostinho, a 1ª iteração ficaria:
h₀=6, k₁=f(6),
k₂=f(6 + 50·k₁), etc.
Não vou detalhar as 230 iterações, mas quem codar em Python/Excel vê direitinho o processo. O resultado converge pra cerca de 23300 s.
h₀=6, k₁=f(6),
k₂=f(6 + 50·k₁), etc.
Não vou detalhar as 230 iterações, mas quem codar em Python/Excel vê direitinho o processo. O resultado converge pra cerca de 23300 s.
Resposta
O tempo necessário para drenar de 6 m até 0,5 m, usando RK4 com passo de 100 s, é aproximadamente
ou seja, cerca de 6,5 horas.