Avalie as integrais:
I1=integral0^pi sen^2 x d x e I2=integral0^2 pi sen^2 x d x
usando os métodos a seguir: Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente aproximar numericamente duas integrais

usando a Regra de Simpson 3/8 composta com 6 subintervalos.
O conteúdo aqui é Integração Numérica, e o que a gente vai precisar é:
1) A fórmula composta de Simpson 3/8:
I1=integral0^pisen^2x,dxe I2=integral0^2pisen^2x,dx
onde integrala^bf(x),dxapprox 3h8l[f(x0)+3sumiin Mf(xi)+2sumiin Nf(xi)+f(xn)r] é múltiplo de 3, ,
e
.
2) Dividir o intervalo em pedaços, calcular , os pontos e , aplicar a fórmula.

Passo 2

Cálculo de .
  • Comprimento total h=pi6 .
  • Número de subintervalos xi = 0 + icdotpi6, i=0,1,dots,6 , então
  • Os pontos são
  • Vamos montar uma tabela rápida de :
    i
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula composta de Simpson 3/8:
I1approx 3h8l[f(x0)+f(x6) +3l(f(x1)+f(x2)+f(x4)+f(x5)r) +2,f(x3)r]
Substituindo I1&approx 3(pi/6)8l[0+0 +3l(tfrac14+tfrac34+tfrac34+tfrac14r) +2cdot1r] &= pi/28l[3cdot2 + 2r] = pi16cdot 8 = pi2 e os valores:

Passo 4

Cálculo de .
  • Agora h=2pi6=pi3 , ainda com , dá
  • Pontos , .
  • Valores de :
    i
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6

Passo 5

De novo a fórmula:
I2approx 3h8l[f(x0)+f(x6) +3l(f(x1)+f(x2)+f(x4)+f(x5)r) +2,f(x3)r]
Substituindo I2&approx 3(pi/3)8l[0+0 +3l(tfrac34+tfrac34+tfrac34+tfrac34r) +2cdot0r] &= pi8l[3cdot3r] = pi8cdot 9 = 9pi8 e os valores:

Resposta

I₁ ≈ π/2
I₂ ≈ 9π/8

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