(b) Estime o valor da função f(x) em x=1,2, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.

Passo 1

Então, o exercício (conteúdo de Interpolação Polinomial) pede pra estimar o valor de f(1,2) usando um polinômio de Newton de grau 2. Pra isso a gente vai precisar de três pontos de interpolação próximos a x=1,2 e dos valores f(x) nesses pontos, além de entender como construir as diferenças divididas de Newton.

Passo 2

Escolha dos pontos:
Como queremos estimar em x=1,2, faz sentido pegar três abscissas que “abracem” esse valor. Vamos chamar de x₀, x₁ e x₂ esses pontos e anotar:
f₀ = f(x₀),
f₁ = f(x₁),
f₂ = f(x₂).
(Em problemas práticos, x₀, x₁ e x₂ são os três dados mais próximos de 1,2.)

Passo 3

Diferenças divididas:
  1. Primeira diferença dividida entre x₀ e x₁:
f[x₀,x₁] = f₁ - f₀x₁ - x₀
  1. Primeira diferença dividida entre x₁ e x₂:
f[x₁,x₂] = f₂ - f₁x₂ - x₁
  1. Segunda diferença dividida (grau 2) entre x₀, x₁, x₂:
f[x₀,x₁,x₂] = f[x₁,x₂] - f[x₀,x₁]x₂ - x₀

Passo 4

Montando o polinômio de Newton de grau 2:
P2(x) = f₀ ;+; (x - x₀),f[x₀,x₁];+;(x - x₀)(x - x₁),f[x₀,x₁,x₂]
Pra estimar em x = 1,2, a gente simplesmente substitui x por 1,2:
P2(1,2) = f₀ + (1,2 - x₀),f[x₀,x₁] + (1,2 - x₀)(1,2 - x₁),f[x₀,x₁,x₂]

Resposta

A estimativa de f(1,2) pelo polinômio de Newton de grau 2 é
boxedf(1,2) approx f₀ + (1,2 - x₀),f[x₀,x₁] + (1,2 - x₀)(1,2 - x₁),f[x₀,x₁,x₂],
onde são os três pontos escolhidos mais próximos de 1,2 e as diferenças divididas calculadas acima.

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