(b) Estime o valor da função
em
, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Passo 1
Então, o exercício (conteúdo de Interpolação Polinomial) pede pra estimar o valor de f(1,2) usando um polinômio de Newton de grau 2. Pra isso a gente vai precisar de três pontos de interpolação próximos a x=1,2 e dos valores f(x) nesses pontos, além de entender como construir as diferenças divididas de Newton.
Passo 2
Escolha dos pontos:
Como queremos estimar em x=1,2, faz sentido pegar três abscissas que “abracem” esse valor. Vamos chamar de x₀, x₁ e x₂ esses pontos e anotar:
f₀ = f(x₀),
f₁ = f(x₁),
f₂ = f(x₂).
(Em problemas práticos, x₀, x₁ e x₂ são os três dados mais próximos de 1,2.)
Como queremos estimar em x=1,2, faz sentido pegar três abscissas que “abracem” esse valor. Vamos chamar de x₀, x₁ e x₂ esses pontos e anotar:
f₀ = f(x₀),
f₁ = f(x₁),
f₂ = f(x₂).
(Em problemas práticos, x₀, x₁ e x₂ são os três dados mais próximos de 1,2.)
Passo 3
Diferenças divididas:
- Primeira diferença dividida entre x₀ e x₁:
- Primeira diferença dividida entre x₁ e x₂:
- Segunda diferença dividida (grau 2) entre x₀, x₁, x₂:
Passo 4
Montando o polinômio de Newton de grau 2:
Pra estimar em x = 1,2, a gente simplesmente substitui x por 1,2:
Resposta
A estimativa de f(1,2) pelo polinômio de Newton de grau 2 é
onde
são os três pontos escolhidos mais próximos de 1,2 e
as diferenças divididas calculadas acima.