Utilize interpolação inversa via polinômio de grau 1, para encontrar uma aproximação para a raiz de f(x)=x-e^-x, considerando os pontos da tabela abaixo:
i 0 1 2 3
xi 0,3 0,4 0,5 0,6
xi-e^-xi -0,44082 -0,27032 -0,10653 0,05119

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar interpolação inversa com um polinômio de grau 1 (ou seja, uma reta) pra achar uma aproximação da raiz da função
f(x)=x - e^-x
que é onde . Eles já nos deram na tabela os pontos . O que precisamos saber:
  • O que é interpolação linear inversa: a gente monta a reta que liga dois pontos e no plano - , mas em vez de estimar para um , a gente quer achar o correspondente a um dado (no nosso caso ).
  • Vamos escolher dois pontos que “cercam” a raiz (um com e outro com ), montar a fórmula da reta e isolar quando .

Passo 2

Primeiro, observo na tabela quais valores de mudam de sinal:
  • em , (negativo)
  • em , (positivo)
    Então a raiz está entre 0.5 e 0.6. Vou usar esses dois pontos pra interpolação inversa.

Passo 3

A fórmula geral da reta que passa por y = y0 + y1 - y0x1 - x0,(x - x0) e 0 = y0 + y1 - y0x1 - x0,(x - x0) Longrightarrow x = x0 + 0 - y0y1 - y0,(x1 - x0) é
Na interpolação inversa a gente quer o quando . Isolando :
Aqui . É isso que vamos usar.

Passo 4

Substituindo x approx 0.5 + 0 - (-0.10653)0.05119 - (-0.10653),(0.6 - 0.5) = 0.5 + 0.106530.15772times 0.1 , 0.106530.15772approx 0.6755, 0.6755times 0.1 = 0.06755, ;
x approx 0.5 + 0.06755 = 0.56755 , :
Agora o cálculo:
então

Resposta

Aproximação da raiz pela interpolação inversa de grau 1:
boxedx approx 0.5676

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