Seja f(x) um polinômio de grau p. Considere k pontos (xi, f(xi)): i=0,1, ldots, k-1, onde k >= p+2, tais que xi neq xj para i neq j. Qual é o valor das diferenças divididas f[x0, ldots, xp+1], ldots, f[x0, ldots, xk-1] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um polinômio f[x0,dots,xp+1],;f[x0,dots,xp+2],;dots,;f[x0,dots,xk-1]? de grau e pontos distintos , com . A pergunta é: quais são as diferenças divididas
Conteúdo: vamos usar o conceito de diferenças divididas de Newton e uma propriedade chave de polinômios (quem tem grau “zera” nas diferenças de ordem maior que ).

Passo 2

Primeiro, lembra como se define diferença dividida de forma recursiva. Para dois pontos:
f[xi,xj] ;=;f(xj)-f(xi)xj - xi
Para mais de dois pontos:
f[xi,xi+1,dots,xi+n] =f[xi+1,dots,xi+n]-f[xi,dots,xi+n-1]xi+n-xi
Isso gera coeficientes do polinômio na forma de Newton:
f(x) =;f[x0];+;f[x0,x1](x-x0) +;f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1);+;cdots

Passo 3

Agora, a parte teórica fundamental:
Um polinômio de grau não tem termo em , porque isso seria grau .
Na expansão de Newton, cada diferença dividida de ordem é justamente o coeficiente do produto .
Como o grau máximo de é , qualquer coeficiente de ordem tem que ser zero.

Passo 4

Consequência direta:
Para f[x0,x1,dots,xn]=0 ,
Aqui dá exatamente , e todos depois também são zero.

Resposta

boxedf[x0,dots,xp+1]=0, f[x0,dots,xp+2]=0,;dots,;f[x0,dots,xk-1]=0

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