Seja
um polinômio de grau
. Considere
pontos
, onde
, tais que
para
. Qual é o valor das diferenças divididas
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um polinômio
de grau
e
pontos distintos
, com
. A pergunta é: quais são as diferenças divididas
Conteúdo: vamos usar o conceito de diferenças divididas de Newton e uma propriedade chave de polinômios (quem tem grau
“zera” nas diferenças de ordem maior que
).
Passo 2
Primeiro, lembra como se define diferença dividida de forma recursiva. Para dois pontos:
Para mais de dois pontos:
Isso gera coeficientes do polinômio na forma de Newton:
Passo 3
Agora, a parte teórica fundamental:
Um polinômio de grau não tem termo em
, porque isso seria grau
.
Na expansão de Newton, cada diferença dividida de ordem é justamente o coeficiente do produto
.
Como o grau máximo de é
, qualquer coeficiente de ordem
tem que ser zero.
Um polinômio de grau
Na expansão de Newton, cada diferença dividida de ordem
Como o grau máximo de
Passo 4
Consequência direta:
Para ,
Para
Aqui
dá exatamente
, e todos depois também são zero.