Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
i xi yi f[xi, xi+1] f[xi, ldots, xi+2] f[xi, ldots, xi+3] f[xi, ldots, xi+4]
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos (xi, yi) : i=0,1, ldots, 4 por meio de duas expressões. Quais são elas ?

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá 5 pares f[xi,xi+1]=yi+1-yixi+1-xi, , pede pra montarmos a tabela de diferenças divididas (que vai de ordem 0 até 4) e, a partir dela, mostrar as duas formas de escrever o polinômio interpolador único de grau ≤ 4. O assunto é “diferenças divididas de Newton” e vamos precisar:
• Saber que a coluna de ordem 0 é só f[xi,dots,xi+k] =f[xi+1,dots,xi+k]-f[xi,dots,xi+k-1]xi+k-xi .
• Que a coluna de ordem 1 é
• E que, em geral,
A partir desses valores a gente monta a tabela e deriva as duas fórmulas do polinômio de Newton.

Passo 2

Explicando a teoria: a tabela de diferenças divididas nos dá, para cada “coluna” de ordem f[xi,xi+1,dots,xi+k] , o coeficiente
f[x0],;f[x0,x1],;f[x0,x1,x2],;f[x0,x1,x2,x3],;f[x0,dots,x4]
Esses coeficientes são justamente os que aparecem na fórmula de Newton. A gente não precisa fazer todos os cálculos numéricos agora, basta saber que depois de montar a tabela, temos cinco valores:

Passo 3

Forma 1 (Newton “para frente”):
P(x);=;f[x0];+;f[x0,x1],(x-x0) ;+;f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1)
+;f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
+;f[x0,x1,x2,x3,x4],(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)

Passo 4

Forma 2 (Newton “para trás”):
P(x);=;f[x4];+;f[x3,x4],(x-x4) ;+;f[x2,x3,x4],(x-x4)(x-x3)
+;f[x1,x2,x3,x4],(x-x4)(x-x3)(x-x2)
+;f[x0,x1,x2,x3,x4],(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)

Resposta

As duas expressões do polinômio interpolador em Newton são:
  1. Forma progressiva (a partir de P(x)=sumk=0^4 f[x0,dots,xk];prodj=0^k-1(x-xj) ):
P(x)=sumk=0^4 f[x4-k,dots,x4];prodj=0^k-1(x-x4-j)
  1. Forma regressiva (a partir de ):

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