Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1,0 | 0,7651 | ||||
1 | 1,3 | 0,6200 | ||||
2 | 1,6 | 0,4554 | ||||
3 | 1,9 | 0,2818 | ||||
4 | 2,2 | 0,1104 |
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos
:
por meio de duas expressões. Quais são elas ?
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá 5 pares
, pede pra montarmos a tabela de diferenças divididas (que vai de ordem 0 até 4) e, a partir dela, mostrar as duas formas de escrever o polinômio interpolador único de grau ≤ 4. O assunto é “diferenças divididas de Newton” e vamos precisar:
• Saber que a coluna de ordem 0 é só .
• Que a coluna de ordem 1 é
• Saber que a coluna de ordem 0 é só
• Que a coluna de ordem 1 é
• E que, em geral,
A partir desses valores a gente monta a tabela e deriva as duas fórmulas do polinômio de Newton.
Passo 2
Explicando a teoria: a tabela de diferenças divididas nos dá, para cada “coluna” de ordem
, o coeficiente
Esses coeficientes são justamente os que aparecem na fórmula de Newton. A gente não precisa fazer todos os cálculos numéricos agora, basta saber que depois de montar a tabela, temos cinco valores:
Passo 3
Forma 1 (Newton “para frente”):
Passo 4
Forma 2 (Newton “para trás”):
Resposta
As duas expressões do polinômio interpolador em Newton são:
- Forma progressiva (a partir de
):
- Forma regressiva (a partir de
):