Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
(-a) b=-(a b)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{Z}, vale a identidade
(-a)\,b = -\bigl(a\,b\bigr)
para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}. Vamos usar as propriedades de anel: definição de inverso aditivo e distributividade da multiplicação sobre a soma.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo em \mathbb{Z}, temos
a + (-a) = 0.
Multiplicando ambos os lados dessa igualdade por b, obtemos
\bigl(a + (-a)\bigr)\,b = 0 \cdot b.

Passo 3

Pela distributividade da multiplicação sobre a soma, o lado esquerdo se expande para
a\,b + (-a)\,b,
enquanto sabemos que 0\cdot b = 0. Logo,
a\,b + (-a)\,b = 0.

Passo 4

Na igualdade
a\,b + (-a)\,b = 0,
o elemento -\bigl(a\,b\bigr) é justamente o inverso aditivo de a\,b, ou seja, o único x tal que
a\,b + x = 0
é x = -\bigl(a\,b\bigr). Comparando com a igualdade acima, concluímos que
(-a)\,b = -\bigl(a\,b\bigr).

Resposta

(-a)\,b = -\bigl(a\,b\bigr).

Exercícios relacionados