Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
(-a)(-b)=a b

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{Z},
(-a)(-b)=ab
para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}. Vamos usar as propriedades de anel: elemento neutro multiplicativo, inverso aditivo, distributividade e associatividade da multiplicação.

Passo 2

Primeiro, mostramos que
(-1)\cdot(-1)=1.
De fato, como 1+(-1)=0, multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
(-1)\cdot0 = (-1)\cdot\bigl(1+(-1)\bigr).
Pela propriedade x\cdot0=0 e pela distributividade,
0 = (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) \;\Longrightarrow\; 0 = -1 + (-1)\cdot(-1).
Somando 1 aos dois lados, conclui-se
(-1)\cdot(-1)=1.

Passo 3

Agora escrevemos -a e -b em função de -1:
-a = (-1)\cdot a, \quad -b = (-1)\cdot b.
Logo,
(-a)(-b) = \bigl((-1)\cdot a\bigr)\bigl((-1)\cdot b\bigr).
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação,
(-a)(-b) = (-1)\cdot(-1)\cdot(a b).
Usando o resultado do passo anterior \bigl((-1)(-1)=1\bigr) e o fato de 1 ser neutro multiplicativo,
(-a)(-b) = 1\cdot (a b) = a b.

Resposta

(-a)(-b)=ab.

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