Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
(-a)^{2}=a^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro a, vale a igualdade
(-a)^2 = a^2.
Estamos trabalhando com as propriedades da multiplicação em \mathbb{Z}, em particular a associatividade, comutatividade, distributividade e o papel de -1 como elemento que gera o inverso aditivo.

Passo 2

Recordando que o inverso aditivo de um inteiro x é definido por
x + (-x) = 0,
temos também a propriedade fundamental
(-1)\cdot x = -x,
pois multiplicar qualquer inteiro x por -1 dá o seu oposto.

Passo 3

Usando essa propriedade, escrevemos
(-a)^2 = (-a)\cdot(-a) = \bigl[(-1)\cdot a\bigr]\cdot\bigl[(-1)\cdot a\bigr].

Passo 4

Pela associatividade e comutatividade da multiplicação, podemos reagrupar:
\bigl[(-1)\cdot a\bigr]\cdot\bigl[(-1)\cdot a\bigr] = \bigl[(-1)\cdot(-1)\bigr]\cdot (a\cdot a) = \bigl[(-1)\cdot(-1)\bigr]\cdot a^2.

Passo 5

Falta ver que (-1)\cdot(-1)=1. Para isso, note que
(-1)\cdot(-1) + (-1) = (-1)\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 = (-1)\cdot\bigl[-1 + 1\bigr] = (-1)\cdot 0 = 0.
Logo, (-1)\cdot(-1) é o inverso aditivo de -1, que é 1. Portanto
(-1)\cdot(-1)=1,
e obtemos
(-a)^2 = 1\cdot a^2 = a^2.

Resposta

(-a)^2 = a^2.

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