Reordene as equações se necessário para que o critério das linhas seja satisfeito, e resolva o sistema linear pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Use x^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}1 & 12 & 3 & 4\end{array}\right]^{t} \mathrm{e} \epsilon=0,01
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear (obtido pelo balanceamento por conservação de átomos) com incógnitas a,b,c,d:
Reordenar as equações (se necessário) para que o critério das linhas (critério de dominância diagonal por linhas) seja satisfeito ou, pelo menos, para evitar divisão por zero nas fórmulas iterativas.
Resolver o sistema pelo método iterativo de Gauss–Seidel, usando a aproximação inicial
Por que reordenar?
Para aplicar Gauss–Seidel é preciso, para cada equação, isolar a incógnita correspondente dividindo pelo coeficiente diagonal dessa equação. Se alguma entrada diagonal for zero, dá divisão por zero. Além disso, para aumentar a chance de convergência costuma-se buscar dominância diagonal por linhas. Observando a matriz original, a segunda linha tem coeficiente diagonal 0 (entrada (2,2)=0), portanto é necessário trocar a ordem das equações para evitar divisão por zero.
Escolho reordenar as linhas na permutação [1,3,2,4] (isto é: manter a 1ª, trazer a 3ª para a 2ª posição, a 2ª para a 3ª posição e manter a 4ª). Depois da reordenação obtemos o sistema equivalente
(Nota: a segunda componente do segundo membro passa a ser 0 porque essa é a terceira linha original.)
Observação útil: a nova terceira equação é simplesmente 1\cdot c = 4, ou seja, c=4 exatamente; isso facilita muito as iterações.
Passo 3
Breve aula prática sobre o método de Gauss–Seidel (passo a passo, sem jargões):
Suponha o sistema A x = b com A=(a_{ij}). A regra de Gauss–Seidel atualiza, em cada iteração k, as incógnitas uma a uma usando as já atualizadas no mesmo passo quando disponíveis.
A fórmula geral para a atualização da i-ésima componente é
a_{ii} é o coeficiente diagonal da i-ésima equação;
b_i é o termo independente da i-ésima equação;
o primeiro somatório usa as componentes já atualizadas nesta iteração (k+1);
o segundo somatório usa as componentes ainda não atualizadas nesta iteração (portanto usa os valores da iteração anterior k).
Critério de parada prático usado: parar quando
\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<\epsilon.
Agora aplicamos isso ao sistema reordenado. A cada iteração atualizamos a,b,c,d na ordem das linhas reordenadas (1,2,3,4). Isolando cada variável das linhas reordenadas obtemos as fórmulas de atualização:
Primeira equação: -4a + c + d = 2. Isolando a,
a=\frac{c+d-2}{4}.
Segunda equação: -2b +4c +3d = 0. Isolando b,
b=\frac{4c+3d}{2}.
Terceira equação: 1\cdot c = 4. Logo
c=4\quad\text{(valor fixo, conhecido).}
Quarta equação: -b +4d = 0. Isolando d,
d=\frac{b}{4}.
Observação: como c é diretamente 4, nas fórmulas acima c será sempre usado como 4 após a primeira atualização dessa linha.
Passo 4
Executando as iterações (usar x^{(0)}=(1,12,3,4)^t). Vou mostrar cada iteração completa e o máximo das diferenças para checar a convergência.
Iteração 1 (partindo de a^{(0)}=1,\;b^{(0)}=12,\;c^{(0)}=3,\;d^{(0)}=4):
Atualiza a usando c^{(0)},d^{(0)}:a^{(1)}=\frac{c^{(0)}+d^{(0)}-2}{4}=\frac{3+4-2}{4}=\frac{5}{4}=1,25.
Atualiza b usando c^{(0)} (ainda não atualizamos c nesta passada) e d^{(0)}:b^{(1)}=\frac{4c^{(0)}+3d^{(0)}}{2}=\frac{4\cdot3+3\cdot4}{2}=\frac{24}{2}=12.
Atualiza c (direto):c^{(1)}=4.
Atualiza d usando b^{(1)}:d^{(1)}=\frac{b^{(1)}}{4}=\frac{12}{4}=3.
d^{(6)}=\dfrac{12,7940673828125}{4}=3,198516845703125.
Vetor x^{(6)}\approx(1,29901123046875,\;12,7940673828125,\;4,\;3,198516845703125)^t.
Diferença máxima entre iterações 6 e 5:
Portanto o critério de parada \epsilon=0,01 foi satisfeito ao fim da 6.ª iteração.
Passo 5
Comentário final sobre exatidão e verificação (rápido e útil): se resolver as equações analiticamente (aproveitando c=4 e substituindo) obtém-se exatamente
d=\frac{16}{5}=3,2,\qquad b=4d=12,8,\qquad a=1,3,
que concorda com as aproximações obtidas por Gauss–Seidel (dentro da tolerância pedida).