Com o balanceamento da seguinte reação química, feito com a conservação do número de átomos de cada elemento entre reagentes e produtos
P_{2} I_{4}+a P_{4} \leftrightarrows c P H_{4} I+d H_{3} P O_{4}
os coeficientes estequiométricos a , b , c e d são dados pela solução do seguinte sistema de equações:
\left[\begin{array}{cccc} -4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 4 & 3 \\\\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\\ b \\\ c \\\ d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right]
Reordene as equações se necessário para que o critério das linhas seja satisfeito, e resolva o sistema linear pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Use x^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}1 & 12 & 3 & 4\end{array}\right]^{t} \mathrm{e} \epsilon=0,01

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear (obtido pelo balanceamento por conservação de átomos) com incógnitas a,b,c,d:
\begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 4 & 3 \\\\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Reordenar as equações (se necessário) para que o critério das linhas (critério de dominância diagonal por linhas) seja satisfeito ou, pelo menos, para evitar divisão por zero nas fórmulas iterativas.
  • Resolver o sistema pelo método iterativo de Gauss–Seidel, usando a aproximação inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\\ 12\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}
e critério de parada \epsilon=0,01.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dos coeficientes e o vetor do segundo membro são os mostrados acima.
  • A incógnita x está em ordem \bigl(a,b,c,d\bigr)^{t}.
  • Chute inicial \,x^{(0)}=\bigl(1,\,12,\,3,\,4\bigr)^{t}.
  • Tolerância \epsilon=0,01.

Passo 2

Por que reordenar?
Para aplicar Gauss–Seidel é preciso, para cada equação, isolar a incógnita correspondente dividindo pelo coeficiente diagonal dessa equação. Se alguma entrada diagonal for zero, dá divisão por zero. Além disso, para aumentar a chance de convergência costuma-se buscar dominância diagonal por linhas. Observando a matriz original, a segunda linha tem coeficiente diagonal 0 (entrada (2,2)=0), portanto é necessário trocar a ordem das equações para evitar divisão por zero.
Escolho reordenar as linhas na permutação [1,3,2,4] (isto é: manter a 1ª, trazer a 3ª para a 2ª posição, a 2ª para a 3ª posição e manter a 4ª). Depois da reordenação obtemos o sistema equivalente
\underbrace{\begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & 4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}}_{A_{\text{reord}}} \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}}_{\,b_{\text{reord}}}.
(Nota: a segunda componente do segundo membro passa a ser 0 porque essa é a terceira linha original.)
Observação útil: a nova terceira equação é simplesmente 1\cdot c = 4, ou seja, c=4 exatamente; isso facilita muito as iterações.

Passo 3

Breve aula prática sobre o método de Gauss–Seidel (passo a passo, sem jargões):
  • Suponha o sistema A x = b com A=(a_{ij}). A regra de Gauss–Seidel atualiza, em cada iteração k, as incógnitas uma a uma usando as já atualizadas no mesmo passo quando disponíveis.
  • A fórmula geral para a atualização da i-ésima componente é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}\,x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Nessa fórmula:
  • a_{ii} é o coeficiente diagonal da i-ésima equação;
  • b_i é o termo independente da i-ésima equação;
  • o primeiro somatório usa as componentes já atualizadas nesta iteração ( k+1);
  • o segundo somatório usa as componentes ainda não atualizadas nesta iteração (portanto usa os valores da iteração anterior k).
  • Critério de parada prático usado: parar quando
\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<\epsilon.
Agora aplicamos isso ao sistema reordenado. A cada iteração atualizamos a,b,c,d na ordem das linhas reordenadas (1,2,3,4). Isolando cada variável das linhas reordenadas obtemos as fórmulas de atualização:
  1. Primeira equação: -4a + c + d = 2. Isolando a,
a=\frac{c+d-2}{4}.
  1. Segunda equação: -2b +4c +3d = 0. Isolando b,
b=\frac{4c+3d}{2}.
  1. Terceira equação: 1\cdot c = 4. Logo
c=4\quad\text{(valor fixo, conhecido).}
  1. Quarta equação: -b +4d = 0. Isolando d,
d=\frac{b}{4}.
Observação: como c é diretamente 4, nas fórmulas acima c será sempre usado como 4 após a primeira atualização dessa linha.

Passo 4

Executando as iterações (usar x^{(0)}=(1,12,3,4)^t). Vou mostrar cada iteração completa e o máximo das diferenças para checar a convergência.
Iteração 1 (partindo de a^{(0)}=1,\;b^{(0)}=12,\;c^{(0)}=3,\;d^{(0)}=4):
  • Atualiza a usando c^{(0)},d^{(0)}: a^{(1)}=\frac{c^{(0)}+d^{(0)}-2}{4}=\frac{3+4-2}{4}=\frac{5}{4}=1,25.
  • Atualiza b usando c^{(0)} (ainda não atualizamos c nesta passada) e d^{(0)}: b^{(1)}=\frac{4c^{(0)}+3d^{(0)}}{2}=\frac{4\cdot3+3\cdot4}{2}=\frac{24}{2}=12.
  • Atualiza c (direto): c^{(1)}=4.
  • Atualiza d usando b^{(1)}: d^{(1)}=\frac{b^{(1)}}{4}=\frac{12}{4}=3.
Vetor após iteração 1:
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1,25\\\ 12\\\ 4\\\ 3\end{pmatrix}.
Diferença máxima \max|x^{(1)}-x^{(0)}|=\max(0,25,0,1,\,0,0,1)=1 (maior que 0,01).
Iteração 2:
  • a^{(2)}=\dfrac{c^{(1)}+d^{(1)}-2}{4}=\dfrac{4+3-2}{4}=\dfrac{5}{4}=1,25.
  • b^{(2)}=\dfrac{4c^{(1)}+3d^{(1)}}{2}=\dfrac{4\cdot4+3\cdot3}{2}=\dfrac{16+9}{2}=\dfrac{25}{2}=12,5.
  • c^{(2)}=4.
  • d^{(2)}=\dfrac{b^{(2)}}{4}=\dfrac{12,5}{4}=3,125.
    Vetor x^{(2)}=(1,25,\;12,5,\;4,\;3,125)^t.
    Diferença máxima entre iterações 2 e 1: \max(|a^{(2)}-a^{(1)}|,|b^{(2)}-b^{(1)}|,|c^{(2)}-c^{(1)}|,|d^{(2)}-d^{(1)}|)=0,5.
Iteração 3:
  • a^{(3)}=\dfrac{4+3,125-2}{4}=\dfrac{5,125}{4}=1,28125.
  • b^{(3)}=\dfrac{4\cdot4+3\cdot3,125}{2}=\dfrac{16+9,375}{2}=\dfrac{25,375}{2}=12,6875.
  • c^{(3)}=4.
  • d^{(3)}=\dfrac{12,6875}{4}=3,171875.
    Vetor x^{(3)}\approx(1,28125,\;12,6875,\;4,\;3,171875)^t.
    Diferença máxima \approx0,1875.
Iteração 4:
  • a^{(4)}=\dfrac{4+3,171875-2}{4}=\dfrac{5,171875}{4}=1,29296875.
  • b^{(4)}=\dfrac{16+3\cdot3,171875}{2}=\dfrac{16+9,515625}{2}=\dfrac{25,515625}{2}=12,7578125.
  • c^{(4)}=4.
  • d^{(4)}=\dfrac{12,7578125}{4}=3,189453125.
    Vetor x^{(4)}\approx(1,29296875,\;12,7578125,\;4,\;3,189453125)^t.
    Diferença máxima \approx0,0703125.
Iteração 5:
  • a^{(5)}=\dfrac{4+3,189453125-2}{4}=\dfrac{5,189453125}{4}=1,29736328125.
  • b^{(5)}=\dfrac{16+3\cdot3,189453125}{2}=\dfrac{16+9,568359375}{2}=\dfrac{25,568359375}{2}=12,7841796875.
  • c^{(5)}=4.
  • d^{(5)}=\dfrac{12,7841796875}{4}=3,196044921875.
    Vetor x^{(5)}\approx(1,29736328125,\;12,7841796875,\;4,\;3,196044921875)^t.
    Diferença máxima \approx0,0263671875.
Iteração 6:
  • a^{(6)}=\dfrac{4+3,196044921875-2}{4}=\dfrac{5,196044921875}{4}=1,29901123046875.
  • b^{(6)}=\dfrac{16+3\cdot3,196044921875}{2}=\dfrac{16+9,588134765625}{2}=\dfrac{25,588134765625}{2}=12,7940673828125.
  • c^{(6)}=4.
  • d^{(6)}=\dfrac{12,7940673828125}{4}=3,198516845703125.
    Vetor x^{(6)}\approx(1,29901123046875,\;12,7940673828125,\;4,\;3,198516845703125)^t.
    Diferença máxima entre iterações 6 e 5:
\max\bigl(|a^{(6)}-a^{(5)}|,\;|b^{(6)}-b^{(5)}|,\;|c^{(6)}-c^{(5)}|,\;|d^{(6)}-d^{(5)}|\bigr)\approx0,0098876953125<0,01.
Portanto o critério de parada \epsilon=0,01 foi satisfeito ao fim da 6.ª iteração.

Passo 5

Comentário final sobre exatidão e verificação (rápido e útil): se resolver as equações analiticamente (aproveitando c=4 e substituindo) obtém-se exatamente
d=\frac{16}{5}=3,2,\qquad b=4d=12,8,\qquad a=1,3,
que concorda com as aproximações obtidas por Gauss–Seidel (dentro da tolerância pedida).

Resposta

a=1,3
b=12,8
c=4
d=3,2

Exercícios relacionados