Considere o seguinte sistema de equações lineares: \left\{\begin{aligned}-x_{1}+x_{2}-3 x_{3} & =-2 \\\\ -9 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3} & =11 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3} & =4\end{aligned}\right.
a) Reordene as equações de modo que o critério de convergência dos métodos iterativos seja satisfeito.
b) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Jacobi com x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1,5 & 1\end{array}\right]^{t} e \epsilon=0,01.
c) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1,5 & 1\end{array}\right]^{t} e \epsilon=0,01.
e pede:
(a) reordenar equações para que o critério de convergência dos métodos iterativos seja satisfeito;
(b) se houver convergência garantida, resolver o sistema reordenado pelo método de Jacobi com x^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]1,5\\[2pt]1\end{array}\right] e \epsilon=0,01;
(c) idem para o método de Gauss–Seidel com o mesmo x^{(0)} e \epsilon.
Critério de parada: diferença máxima entre iterações consecutivas menor que \epsilon=0,01 (usarei norma infinito \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty).]
Passo 2
Explicando o critério de convergência usado (modo prático e suficiente):
Uma condição suficiente e fácil de verificar para a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i
Isto garante \rho(B)<1 para as matrizes de iteração (onde \rho é o raio espectral) e, portanto, convergência.
Vamos checar a dominância para a ordem original:
Linha 1: \lvert a_{11}\rvert = \lvert -1\rvert =1 e soma dos outros \lvert1\rvert+\lvert-3\rvert=4. Não satisfaz.
Linha 2: \lvert a_{22}\rvert = \lvert 2\rvert =2 e soma \lvert-9\rvert+\lvert6\rvert=15. Não satisfaz.
Linha 3: \lvert a_{33}\rvert = \lvert1\rvert =1 e soma \lvert2\rvert+\lvert4\rvert=6. Não satisfaz.
Portanto, na ordem original não há dominância. Podemos permutar as equações (trocar linhas) para tentar obter dominância. A estratégia prática: colocar em cada linha um coeficiente diagonal de grande valor absoluto. Observando os coeficientes por coluna:
coluna 1 tem -9 (linha original 2) — grande;
coluna 2 tem 4 (linha original 3);
coluna 3 tem -3 (linha original 1).
Então escolhemos a permutação das linhas (2,3,1). Isso dá o sistema reordenado (vou escrevê‑lo explicitamente no próximo passo) e verificaremos a dominância linha a linha.
Passo 3
Escrevendo o sistema após a permutação das equações na ordem (2,3,1)\) (peguei os coeficientes das linhas originais correspondentes):
\[\begin{cases} -9 x_{1} + 2 x_{2} + 6 x_{3} = 11,\\[4pt] 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4,\\[4pt] - x_{1} + x_{2} -3 x_{3} = -2. \end{cases}
Linha 1: \lvert -9\rvert =9\] e soma dos outros \(\lvert2\rvert+\lvert6\rvert=8. 9>8 — estrita.
Linha 2: \lvert 4\rvert =4 e soma \lvert2\rvert+\lvert1\rvert=3. 4>3 — estrita.
Linha 3: \lvert -3\rvert =3 e soma \lvert-1\rvert+\lvert1\rvert=2. 3>2 — estrita.
Conclusão: o sistema reordenado é estritamente diagonalmente dominante por linhas; assim a convergência dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel está garantida.]
Passo 4
Preparação das fórmulas iterativas (ensino prático e direto):
Para o sistema reordenado usaremos as expressões isolando cada variável na sua linha (forma usada por Jacobi e Gauss–Seidel). Das equações obtemos, isolando x_1,x_2,x_3,
No método de Jacobi, cada componente x_i^{(k+1)} é calculada usando somente valores da iteração anterior x^{(k)} nas somas à direita.
No método de Gauss–Seidel, ao calcular x_i^{(k+1)} dentro da mesma iteração k+1 já se usam as componentes atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} quando disponíveis, e as demais x_{i+1},\dots ainda da iteração k.
Vou aplicar primeiro Jacobi, mostrando cada iteração até que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<0,01. Usarei aproximações decimais com 6 casas para clareza.]
Logo x^{(1)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,222222\\[2pt]0,75\\[2pt]1,166667\end{array}\right]. Diferença máxima em relação a x^{(0)} é 0,75 (ainda maior que 0,01).]
Agora a diferença máxima \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_\infty \approx 0,006547<0,01. Portanto o método de Jacobi atingiu a tolerância em 10 iterações, com aproximação final indicada acima.]
Passo 15
Resumo didático do Jacobi (para a prova):
Escreve‑se cada x_i isolado pela diagonal; no Jacobi usa‑se só x^{(k)} à direita.
Aplica‑se iterativamente até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\epsilon.
No nosso caso isso ocorreu em k=10 e a solução aproximada (com a tolerância pedida) é dada no passo seguinte (resposta).
Passo 16
Agora Gauss–Seidel: explicando a diferença prática antes de calcular — no Gauss–Seidel, ao calcular x_2 na iteração k+1 já se usa o x_1^{(k+1)} recém‑calculado; ao calcular x_3^{(k+1)} usa‑se x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)}. Isso normalmente acelera a convergência quando há dominância.
Agora a diferença máxima \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty\approx 0,009305<0,01. Logo o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância em 6 iterações.]
Passo 23
Resumo didático do Gauss–Seidel (para a prova):
Usa imediatamente as componentes já atualizadas dentro da mesma iteração; por isso costuma convergir em menos passos que Jacobi quando a dominância existe.
No nosso caso convergiu em 6 iterações e a aproximação final está no próximo bloco (resposta).
Resposta
(a) Reordenação que satisfaz o critério: colocar as equações na ordem (2,3,1)\), isto é,
\[\begin{cases} -9 x_{1} + 2 x_{2} + 6 x_{3} = 11,\\[4pt] 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4,\\[4pt] - x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = -2. \end{cases}
(b) Método de Jacobi: x\approx\left[\begin{array}{c}-0,3084422\\[2pt]0,8873035\\[2pt]1,0682726\end{array}\right]\] (convergência atingida em 10 iterações, com \(\epsilon=0,01).
(c) Método de Gauss–Seidel: x\approx\left[\begin{array}{c}-0,3162267\\[2pt]0,8921174\\[2pt]1,0694481\end{array}\right] (convergência atingida em 6 iterações, com \epsilon=0,01).]