1. Considere o seguinte sistema de equações lineares: \left\{\begin{aligned}-x_{1}+x_{2}-3 x_{3} & =-2 \\\\ -9 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3} & =11 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3} & =4\end{aligned}\right.
    a) Reordene as equações de modo que o critério de convergência dos métodos iterativos seja satisfeito.
    b) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Jacobi com x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1,5 & 1\end{array}\right]^{t} e \epsilon=0,01.
    c) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1,5 & 1\end{array}\right]^{t} e \epsilon=0,01.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} - x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = -2,\\[4pt] -9 x_{1} + 2 x_{2} + 6 x_{3} = 11,\\[4pt] 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4, \end{cases}
e pede:
(a) reordenar equações para que o critério de convergência dos métodos iterativos seja satisfeito;
(b) se houver convergência garantida, resolver o sistema reordenado pelo método de Jacobi com x^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]1,5\\[2pt]1\end{array}\right] e \epsilon=0,01;
(c) idem para o método de Gauss–Seidel com o mesmo x^{(0)} e \epsilon.
Informações relevantes fornecidas:
  • Matriz dos coeficientes (na ordem dada) é
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -3\\[2pt]-9 & 2 & 6\\[2pt]2 & 4 & 1\end{pmatrix},
e o vetor termo independente é b=\left[\begin{array}{c}-2\\[2pt]11\\[2pt]4\end{array}\right].
  • Vetor inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]1,5\\[2pt]1\end{array}\right].
  • Critério de parada: diferença máxima entre iterações consecutivas menor que \epsilon=0,01 (usarei norma infinito \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty).]

Passo 2

Explicando o critério de convergência usado (modo prático e suficiente):
Uma condição suficiente e fácil de verificar para a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i
\lvert a_{ii}\rvert > \sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert.
Isto garante \rho(B)<1 para as matrizes de iteração (onde \rho é o raio espectral) e, portanto, convergência.
Vamos checar a dominância para a ordem original:
  • Linha 1: \lvert a_{11}\rvert = \lvert -1\rvert =1 e soma dos outros \lvert1\rvert+\lvert-3\rvert=4. Não satisfaz.
  • Linha 2: \lvert a_{22}\rvert = \lvert 2\rvert =2 e soma \lvert-9\rvert+\lvert6\rvert=15. Não satisfaz.
  • Linha 3: \lvert a_{33}\rvert = \lvert1\rvert =1 e soma \lvert2\rvert+\lvert4\rvert=6. Não satisfaz.
Portanto, na ordem original não há dominância. Podemos permutar as equações (trocar linhas) para tentar obter dominância. A estratégia prática: colocar em cada linha um coeficiente diagonal de grande valor absoluto. Observando os coeficientes por coluna:
  • coluna 1 tem -9 (linha original 2) — grande;
  • coluna 2 tem 4 (linha original 3);
  • coluna 3 tem -3 (linha original 1).
Então escolhemos a permutação das linhas (2,3,1). Isso dá o sistema reordenado (vou escrevê‑lo explicitamente no próximo passo) e verificaremos a dominância linha a linha.

Passo 3

Escrevendo o sistema após a permutação das equações na ordem (2,3,1)\) (peguei os coeficientes das linhas originais correspondentes): \[\begin{cases} -9 x_{1} + 2 x_{2} + 6 x_{3} = 11,\\[4pt] 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4,\\[4pt] - x_{1} + x_{2} -3 x_{3} = -2. \end{cases}
Matriz correspondente:
A_{\text{reord}}=\begin{pmatrix}-9 & 2 & 6\\[2pt]2 & 4 & 1\\[2pt]-1 & 1 & -3\end{pmatrix}.
Verificação da dominância por linhas:
  • Linha 1: \lvert -9\rvert =9\] e soma dos outros \(\lvert2\rvert+\lvert6\rvert=8. 9>8 — estrita.
  • Linha 2: \lvert 4\rvert =4 e soma \lvert2\rvert+\lvert1\rvert=3. 4>3 — estrita.
  • Linha 3: \lvert -3\rvert =3 e soma \lvert-1\rvert+\lvert1\rvert=2. 3>2 — estrita.
Conclusão: o sistema reordenado é estritamente diagonalmente dominante por linhas; assim a convergência dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel está garantida.]

Passo 4

Preparação das fórmulas iterativas (ensino prático e direto):
Para o sistema reordenado usaremos as expressões isolando cada variável na sua linha (forma usada por Jacobi e Gauss–Seidel). Das equações obtemos, isolando x_1,x_2,x_3,
\begin{aligned} x_{1} &= \dfrac{11 - 2 x_{2} - 6 x_{3}}{-9} = -\dfrac{11}{9} + \dfrac{2}{9}x_{2} + \dfrac{6}{9}x_{3},\\[6pt] x_{2} &= \dfrac{4 - 2 x_{1} - x_{3}}{4} = 1 - \dfrac{1}{2}x_{1} - \dfrac{1}{4}x_{3},\\[6pt] x_{3} &= \dfrac{2 - x_{1} + x_{2}}{3} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}x_{1} + \dfrac{1}{3}x_{2}. \end{aligned}
Interpretação das fórmulas:
  • No método de Jacobi, cada componente x_i^{(k+1)} é calculada usando somente valores da iteração anterior x^{(k)} nas somas à direita.
  • No método de Gauss–Seidel, ao calcular x_i^{(k+1)} dentro da mesma iteração k+1 já se usam as componentes atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} quando disponíveis, e as demais x_{i+1},\dots ainda da iteração k.
Vou aplicar primeiro Jacobi, mostrando cada iteração até que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<0,01. Usarei aproximações decimais com 6 casas para clareza.]

Passo 5

Método de Jacobi — iteração k=0 \to k=1:
Dado x^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]1,5\\[2pt]1\end{array}\right].
Cálculos:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= -\dfrac{11}{9} + \dfrac{2}{9}\cdot 1,5 + \dfrac{6}{9}\cdot 1 = -\dfrac{11}{9} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{2}{9}\approx -0,222222,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= 1 - \dfrac{1}{2}\cdot 0 - \dfrac{1}{4}\cdot 1 = 0,75,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\cdot 0 + \dfrac{1}{3}\cdot 1,5 = \dfrac{7}{6}\approx 1,166667. \end{aligned}
Logo x^{(1)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,222222\\[2pt]0,75\\[2pt]1,166667\end{array}\right]. Diferença máxima em relação a x^{(0)} é 0,75 (ainda maior que 0,01).]

Passo 6

Jacobi — k=1 \to k=2:
Usando x^{(1)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)} &= -\dfrac{11}{9} + \dfrac{2}{9}\cdot 0,75 + \dfrac{6}{9}\cdot 1,1666667 = -\dfrac{5}{18}\approx -0,277778,\\[4pt] x_{2}^{(2)} &= 1 - \dfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{2}{9}) - \dfrac{1}{4}\cdot\tfrac{7}{6} = \dfrac{59}{72}\approx 0,819444,\\[4pt] x_{3}^{(2)} &= \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\cdot(-\tfrac{2}{9}) + \dfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{4} = \dfrac{107}{108}\approx 0,990741. \end{aligned}
x^{(2)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,277778\\[2pt]0,819444\\[2pt]0,990741\end{array}\right]. Diferença máxima \approx 0,175926>0,01.]

Passo 7

Jacobi — k=2 \to k=3:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)} &\approx -0,3796296,\\[4pt] x_{2}^{(3)} &\approx 0,8912037,\\[4pt] x_{3}^{(3)} &\approx 1,0324074. \end{aligned}
(Detalhes: cálculos feitos pelas mesmas fórmulas; diferença máxima \approx 0,101852>0,01.)]

Passo 8

Jacobi — k=3 \to k=4:
x^{(4)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3359064\\[2pt]0,9317130\\[2pt]1,0903094\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,05793>0,01.]

Passo 9

Jacobi — k=4 \to k=5:
x^{(5)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,2883019\\[2pt]0,8953759\\[2pt]1,0892065\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,0476>0,01.]

Passo 10

Jacobi — k=5 \to k=6:
x^{(6)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,2970845\\[2pt]0,8718494\\[2pt]1,0612259\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,02798>0,01.]

Passo 11

Jacobi — k=6 \to k=7:
x^{(7)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3209940\\[2pt]0,8832358\\[2pt]1,0563114\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,02391>0,01.]

Passo 12

Jacobi — k=7 \to k=8:
x^{(8)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3217400\\[2pt]0,8964191\\[2pt]1,0680766\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,01318>0,01.]

Passo 13

Jacobi — k=8 \to k=9:
x^{(9)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3109669\\[2pt]0,8938509\\[2pt]1,0727198\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,01077>0,01 (ainda ligeiramente acima).]

Passo 14

Jacobi — k=9 \to k=10:
x^{(10)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3084422\\[2pt]0,8873035\\[2pt]1,0682726\end{array}\right].
Agora a diferença máxima \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_\infty \approx 0,006547<0,01. Portanto o método de Jacobi atingiu a tolerância em 10 iterações, com aproximação final indicada acima.]

Passo 15

Resumo didático do Jacobi (para a prova):
  • Escreve‑se cada x_i isolado pela diagonal; no Jacobi usa‑se só x^{(k)} à direita.
  • Aplica‑se iterativamente até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\epsilon.
  • No nosso caso isso ocorreu em k=10 e a solução aproximada (com a tolerância pedida) é dada no passo seguinte (resposta).

Passo 16

Agora Gauss–Seidel: explicando a diferença prática antes de calcular — no Gauss–Seidel, ao calcular x_2 na iteração k+1 já se usa o x_1^{(k+1)} recém‑calculado; ao calcular x_3^{(k+1)} usa‑se x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)}. Isso normalmente acelera a convergência quando há dominância.

Passo 17

Gauss–Seidel — iteração k=0 \to k=1 (com x^{(0)} dado):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= -\dfrac{11}{9} + \dfrac{2}{9}\cdot 1,5 + \dfrac{6}{9}\cdot 1 = -0,222222,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= 1 - \dfrac{1}{2}\cdot x_{1}^{(1)} - \dfrac{1}{4}\cdot 1 = 1 - \dfrac{1}{2}\cdot(-0,222222) - 0,25\approx 0,861111,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\cdot x_{1}^{(1)} + \dfrac{1}{3}\cdot x_{2}^{(1)} \approx 1,0277778. \end{aligned}
Assim x^{(1)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,222222\\[2pt]0,861111\\[2pt]1,027778\end{array}\right].]

Passo 18

Gauss–Seidel — k=1 \to k=2:
x^{(2)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,345679\\[2pt]0,915895\\[2pt]1,087191\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,123457.]

Passo 19

Gauss–Seidel — k=2 \to k=3:
x^{(3)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,2938957\\[2pt]0,8751500\\[2pt]1,0563486\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,051783.]

Passo 20

Gauss–Seidel — k=3 \to k=4:
x^{(4)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3235120\\[2pt]0,8976688\\[2pt]1,0737270\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,029616.]

Passo 21

Gauss–Seidel — k=4 \to k=5:
x^{(5)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3069216\\[2pt]0,8850291\\[2pt]1,0639836\end{array}\right].
Diferença máxima \approx 0,016590.]

Passo 22

Gauss–Seidel — k=5 \to k=6:
x^{(6)}\approx\left[\begin{array}{c}-0,3162267\\[2pt]0,8921174\\[2pt]1,0694481\end{array}\right].
Agora a diferença máxima \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty\approx 0,009305<0,01. Logo o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância em 6 iterações.]

Passo 23

Resumo didático do Gauss–Seidel (para a prova):
  • Usa imediatamente as componentes já atualizadas dentro da mesma iteração; por isso costuma convergir em menos passos que Jacobi quando a dominância existe.
  • No nosso caso convergiu em 6 iterações e a aproximação final está no próximo bloco (resposta).

Resposta

(a) Reordenação que satisfaz o critério: colocar as equações na ordem (2,3,1)\), isto é, \[\begin{cases} -9 x_{1} + 2 x_{2} + 6 x_{3} = 11,\\[4pt] 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4,\\[4pt] - x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = -2. \end{cases}
(b) Método de Jacobi: x\approx\left[\begin{array}{c}-0,3084422\\[2pt]0,8873035\\[2pt]1,0682726\end{array}\right]\] (convergência atingida em 10 iterações, com \(\epsilon=0,01).
(c) Método de Gauss–Seidel: x\approx\left[\begin{array}{c}-0,3162267\\[2pt]0,8921174\\[2pt]1,0694481\end{array}\right] (convergência atingida em 6 iterações, com \epsilon=0,01).]

Exercícios relacionados