Considere um sistema de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes e dos termos independentes são as seguintes:
A=\left[\begin{array}{ccc}C & 3 & 1 \C & 20 & 1 \\\ 1 & C & 6\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l}1 \\\ 1 \\\ 1\end{array}\right]
Aplicando o critério das linhas, determine em qual intervalo deve estar o valor da constante C de tal forma que se possa garantir a convergência quando aplicado um método iterativo para a resolução do sistema A x=B.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz dos coeficientes
A=\begin{bmatrix}C & 3 & 1 \\[4pt] C & 20 & 1 \\[4pt] 1 & C & 6\end{bmatrix}
e o vetor dos termos independentes
B=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}.
A pergunta é: aplicando o critério das linhas, para quais valores da constante C podemos garantir a convergência de um método iterativo (por exemplo Jacobi ou Gauss–Seidel) ao resolver A x = B?
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Elementos da diagonal principal: a_{11}=C, a_{22}=20, a_{33}=6.
  • Elementos fora da diagonal que aparecem nas desigualdades linha a linha: na linha 1 os termos são 3 e 1; na linha 2 os termos são C e 1; na linha 3 os termos são 1 e C.]

Passo 2

Explicação do que é o “critério das linhas” (critério de dominância diagonal por linhas) e por que ele garante convergência:
  • O critério das linhas diz que se, para toda linha i de A, valer a desigualdade estrita
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
  • Por que isso importa? Porque a dominância diagonal estrita por linhas é uma condição suficiente para que os métodos iterativos clássicos (Jacobi e Gauss–Seidel) converjam para a solução do sistema A x=B. Ou seja, se conseguirmos mostrar essa desigualdade para todas as linhas, a convergência está garantida.
  • Observação importante (didática): essa condição é suficiente, não necessária — há matrizes que fazem os métodos convergirem mesmo sem dominância, mas o critério dá uma garantia simples e verificável.

Passo 3

Aplicar o critério às três linhas da matriz A. Vou escrever para cada linha a desigualdade e simplificá‑la passo a passo.
Linha 1 (índice i=1):
|a_{11}|>\sum_{j\neq 1}|a_{1j}| \quad\Longrightarrow\quad |C|>|3|+|1|.
Como |3|=3 e |1|=1, obtemos
|C|>3+1=4.
Linha 2 (índice i=2):
|a_{22}|>\sum_{j\neq 2}|a_{2j}| \quad\Longrightarrow\quad |20|>|C|+|1|.
Como |20|=20 e |1|=1, obtemos
20>|C|+1 \quad\Longrightarrow\quad |C|<20-1=19.
Linha 3 (índice i=3):
|a_{33}|>\sum_{j\neq 3}|a_{3j}| \quad\Longrightarrow\quad |6|>|1|+|C|.
Como |6|=6 e |1|=1, obtemos
6>1+|C| \quad\Longrightarrow\quad |C|<6-1=5.

Passo 4

Agora juntamos as três condições obtidas:
|C|>4,\qquad |C|<19,\qquad |C|<5.
A condição |C|<19 é redundante porque |C|<5 é mais restritiva. Assim as condições relevantes são
|C|>4\quad\text{e}\quad |C|<5.
Isto é,
4<|C|<5.
Interpretando a desigualdade absoluta em termos de intervalos reais, isso equivale a
C\in(-5,-4)\;\cup\;(4,5).
Observação sobre extremidades: os sinais estritos > e < exigem que C não seja igual a \pm4 nem a \pm5; nos pontos C=\pm4 ou C=\pm5 a dominância seria apenas não estrita ou violada, portanto não garantimos convergência pelo critério.

Passo 5

Pequena verificação numérica intuitiva (para dar confiança):
  • Se escolhermos C=4{,}5 então |C|=4{,}5>4 e |C|<5, as três desigualdades das linhas ficam satisfeitas e a convergência está garantida.
  • Se escolhermos C=3 então |C|=3 viola a primeira desigualdade |C|>4, então o critério não se aplica e não há garantia via esse critério.
Encerrando com um lembrete amigável: consegui separar passo a passo as desigualdades e combinar os intervalos; assim dá para checar na prova rapidamente — basta aplicar a fórmula da dominância linha a linha, montar as desigualdades em termos de |C| e intersectar os intervalos.

Resposta

C\in(-5,-4)\cup(4,5)

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