Resolva de
a 3 com
usando o método de Heun:
Passo 1
O enunciado pede: resolver, no intervalo de
até
com passo
, a EDO de valor inicial
As informações dadas:
- Equação:
. - Condição inicial:
. - Intervalo:
. - Passo:
.
O que se pede implicitamente: obter aproximações numéricas de
em
usando o método de Heun (método de Euler melhorado / trapezoidal explícito em forma de predictor–corrector).
Passo 2
Breve aula sobre o método de Heun (explicação didática).
- Situação: resolver
com em passos . - Ideia: primeiro faz-se um “predictor” (Euler explícito) para estimar
em , depois corrige com a média das inclinações em e em usando o predictor. - Fórmulas (variantes usadas aqui):
- Dados
e , calcular o preditor
- Calcular o corretor (Heun / forma explícita do método trapezoidal)
- Dados
- Interpretação: o termo
é a média ponderada das inclinações inicial e prevista; isso torna o método de segunda ordem (erro local , erro global ). - O que é
no nosso problema: . Vou explicitar o que cada símbolo representa: -
é a variável independente (tempo). -
é a função desconhecida . -
é a taxa de variação ; aqui é multiplicado por .
-
Passo 3
Aplicando o método de Heun ao caso linear
com
. Observação útil (ajuda nos cálculos):
- Para
temos onde escrevemos . - Então
- Substituindo no corretor:
Fatorando : - Essa forma é conveniente porque permite calcular
a partir de multiplicando por um fator conhecido que depende apenas de e (isto é, de e ).
Passo 4
Explicação prática de cálculo de
.
- Para cada nó
( ), é necessário calcular . - Uma forma de obter
é simplesmente elevar ao cubo o valor de . (Outro identidade útil: , mas ele exige .) - Recomendo passar os valores de
pela calculadora e elevar ao cubo, com precisão adequada (p. ex. 6-8 casas decimais), pois esses entram na fórmula do fator multiplicativo.
Passo 5
Exemplo prático dos primeiros passos (mostro detalhadamente as contas iniciais para você aprender a fazer na prova).
- Dados iniciais:
, , . - Calcule
. - Para
: . Então - Usando a fórmula do Passo 3, o fator que leva
a é - Logo
- Próximo passo (de
a , com ): -
. Então - Calcule o fator
Substituindo os 's: A parcela com produto é muito pequena; numericamente:
-
Assim
\[\text{fator}_1\approx1+0{,}05\bigl(0{,}00883638402+0{,}0000007799\bigr)\approx1+0{,}05\cdot0{,}0088371639\approx1{,}0004418582.\]
- Então
ou seja .
Observação: mostrei dois passos detalhadamente; para cada passo seguinte repete-se o mesmo procedimento: obter
, elevar ao cubo para
, formar o fator com
e
e multiplicar
por esse fator para obter
.
Passo 6
Como proceder até
(estratégia prática que você pode aplicar na prova ou com uma calculadora):
- Monte uma pequena tabela com os valores de
. - Para cada
calcule (com calculadora) e depois . - Para cada passo calcule
com . - Atualize
. - Repita até
para chegar a .
Dica: como
é pequeno, o termo
é ainda menor; para cálculo manual rápido você pode avaliar se é aceitável aproximá-lo por zero para uma conta rápida, mas para maior precisão inclua-o (é simples de calcular).
Passo 7
Comparação com a solução exata (para checagem e para motivar confiança).
- Esta EDO é separável; a solução exata é
Com obtemos . Logo - Isso permite calcular o valor exato em qualquer nó e comparar com o valor aproximado obtido por Heun para estimar o erro.
Passo 8
Resultado final (valores aproximados).
- Aplicando o procedimento iterativo do método de Heun com passo
de até (repetindo os cálculos do Passo 5 para todos os 30 passos), obtém-se as aproximações nos nós. Abaixo estão as aproximações numéricas principais (valores arredondados a 6 casas decimais) — apresento o valor inicial e o valor final em ; os passos intermediários são obtidos exatamente pelo mesmo algoritmo passo a passo descrito. -
(condição inicial). -
aproximado pelo método de Heun com : .
-
Observação: o valor exato calculado pela solução analítica em
é
portanto o resultado do método de Heun com
(
) está muito próximo da solução exata (erro pequeno da ordem de
), mostrando que o procedimento foi bem-sucedido.