Resolva de \mathrm{t}=0 a 3 com \mathrm{h}=0,1 usando o método de Heun:
\frac{d y}{d t}=y \operatorname{sen}^{3} t \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede: resolver, no intervalo de t=0 até t=3 com passo \,h=0{,}1, a EDO de valor inicial
\frac{dy}{dt}=y\sin^{3}t,\qquad y(0)=1.
As informações dadas:
  • Equação: \dfrac{dy}{dt}=y\sin^{3}t.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Intervalo: t\in[0,3].
  • Passo: h=0{,}1.
O que se pede implicitamente: obter aproximações numéricas de y(t) em t_0=0,t_1=0{,}1,\dots,t_{30}=3 usando o método de Heun (método de Euler melhorado / trapezoidal explícito em forma de predictor–corrector).

Passo 2

Breve aula sobre o método de Heun (explicação didática).
  • Situação: resolver \dfrac{dy}{dt}=f(t,y) com y(t_0)=y_0 em passos \,h.
  • Ideia: primeiro faz-se um “predictor” (Euler explícito) para estimar y em t_{n+1}, depois corrige com a média das inclinações em t_n e em t_{n+1} usando o predictor.
  • Fórmulas (variantes usadas aqui):
    • Dados t_n e y_n, calcular o preditor
    \tilde{y}_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
    • Calcular o corretor (Heun / forma explícita do método trapezoidal)
    y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\bigl(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr).
  • Interpretação: o termo \dfrac{h}{2}(f_n+f_{n+1}^{\text{pred}}) é a média ponderada das inclinações inicial e prevista; isso torna o método de segunda ordem (erro local O(h^3), erro global O(h^2)).
  • O que é f no nosso problema: f(t,y)=y\sin^{3}t. Vou explicitar o que cada símbolo representa:
    • t é a variável independente (tempo).
    • y é a função desconhecida y(t).
    • f(t,y) é a taxa de variação \dfrac{dy}{dt}; aqui é y multiplicado por \sin^{3}t.

Passo 3

Aplicando o método de Heun ao caso linear \dfrac{dy}{dt}=a(t)\,y com a(t)=\sin^{3}t. Observação útil (ajuda nos cálculos):
  • Para f(t,y)=a(t)y temos \tilde{y}_{n+1}=y_n+h\,a_n y_n = y_n(1+h a_n),onde escrevemos a_n=a(t_n)=\sin^{3}t_n.
  • Então f(t_{n+1},\tilde{y}_{n+1})=a_{n+1}\tilde{y}_{n+1}=a_{n+1}y_n(1+h a_n).
  • Substituindo no corretor: y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\bigl(a_n y_n + a_{n+1} y_n(1+h a_n)\bigr).Fatorando y_n: y_{n+1}=y_n\left[1+\frac{h}{2}\bigl(a_n+a_{n+1}+h a_n a_{n+1}\bigr)\right].
  • Essa forma é conveniente porque permite calcular y_{n+1} a partir de y_n multiplicando por um fator conhecido que depende apenas de a_n e a_{n+1} (isto é, de \sin^3 t_n e \sin^3 t_{n+1}).

Passo 4

Explicação prática de cálculo de \sin^{3}t.
  • Para cada nó t_n ( t_n=0{,}1n ), é necessário calcular a_n=\sin^{3}t_n.
  • Uma forma de obter \sin^{3}t é simplesmente elevar ao cubo o valor de \sin t. (Outro identidade útil: \sin^{3}t=(3\sin t-\sin 3t)/4, mas ele exige \sin 3t.)
  • Recomendo passar os valores de \sin t_n pela calculadora e elevar ao cubo, com precisão adequada (p. ex. 6-8 casas decimais), pois esses a_n entram na fórmula do fator multiplicativo.

Passo 5

Exemplo prático dos primeiros passos (mostro detalhadamente as contas iniciais para você aprender a fazer na prova).
  • Dados iniciais: t_0=0, y_0=1, h=0{,}1.
  • Calcule a_0=\sin^{3}0=0.
  • Para t_1=0{,}1: \sin 0{,}1\approx 0{,}09983341665. Então a_1=\sin^{3}(0{,}1)\approx(0{,}09983341665)^3\approx0{,}00099500417.
  • Usando a fórmula do Passo 3, o fator que leva y_0 a y_1 é \text{fator}_0 = 1+\frac{0{,}1}{2}\bigl(a_0+a_1+0{,}1\,a_0 a_1\bigr) =1+0{,}05\bigl(0+0{,}00099500417+0\bigr) \approx1{,}00004975021.
  • Logo y_1 = y_0\cdot\text{fator}_0 \approx 1\cdot 1{,}00004975021 \approx 1{,}00004975.
  • Próximo passo (de t_1 a t_2, com t_2=0{,}2):
    • \sin 0{,}2\approx0{,}19866933079. Então a_2=\sin^{3}(0{,}2)\approx(0{,}19866933079)^3\approx0{,}00784137985.
    • Calcule o fator \text{fator}_1 = 1+0{,}05\bigl(a_1+a_2+0{,}1\,a_1 a_2\bigr).Substituindo os a's: \text{fator}_1 \approx 1+0{,}05\bigl(0{,}00099500417+0{,}00784137985+0{,}1\cdot(0{,}00099500417)(0{,}00784137985)\bigr).A parcela com produto é muito pequena; numericamente: 0{,}00099500417+0{,}00784137985\approx0{,}00883638402,
0{,}1\cdot a_1 a_2\approx0{,}1\cdot(0{,}00099500417)(0{,}00784137985)\approx0{,}1\cdot7{,}799\times10^{-6}\approx7{,}799\times10^{-7}.
Assim
\[\text{fator}_1\approx1+0{,}05\bigl(0{,}00883638402+0{,}0000007799\bigr)\approx1+0{,}05\cdot0{,}0088371639\approx1{,}0004418582.\]
  • Então y_2=y_1\cdot\text{fator}_1\approx1{,}00004975021\cdot1{,}0004418582\approx1{,}0004917\\ (\text{aprox.}),ou seja y_2\approx1{,}00049170.
Observação: mostrei dois passos detalhadamente; para cada passo seguinte repete-se o mesmo procedimento: obter \sin t_{n+1}, elevar ao cubo para a_{n+1}, formar o fator com a_n e a_{n+1} e multiplicar y_n por esse fator para obter y_{n+1}.

Passo 6

Como proceder até t=3 (estratégia prática que você pode aplicar na prova ou com uma calculadora):
  1. Monte uma pequena tabela com os valores de t_n=0{,}0,0{,}1,\dots,3{,}0.
  2. Para cada t_n calcule \sin t_n (com calculadora) e depois a_n=\sin^{3}t_n.
  3. Para cada passo calcule \text{fator}_n=1+\frac{h}{2}\bigl(a_n+a_{n+1}+h\,a_n a_{n+1}\bigr)com h=0{,}1.
  4. Atualize y_{n+1}=y_n\cdot\text{fator}_n.
  5. Repita até n=29 para chegar a t_{30}=3{,}0.
Dica: como h é pequeno, o termo h\,a_n a_{n+1} é ainda menor; para cálculo manual rápido você pode avaliar se é aceitável aproximá-lo por zero para uma conta rápida, mas para maior precisão inclua-o (é simples de calcular).

Passo 7

Comparação com a solução exata (para checagem e para motivar confiança).
  • Esta EDO é separável; a solução exata é \ln y=\int \sin^{3}t\,dt + C = -\cos t +\frac{\cos^{3}t}{3}+C.Com y(0)=1 obtemos C=2/3. Logo y_{\text{exata}}(t)=\exp\!\Bigl(-\cos t+\frac{\cos^{3}t}{3}+\frac{2}{3}\Bigr).
  • Isso permite calcular o valor exato em qualquer nó e comparar com o valor aproximado obtido por Heun para estimar o erro.

Passo 8

Resultado final (valores aproximados).
  • Aplicando o procedimento iterativo do método de Heun com passo h=0{,}1 de t=0 até t=3 (repetindo os cálculos do Passo 5 para todos os 30 passos), obtém-se as aproximações nos nós. Abaixo estão as aproximações numéricas principais (valores arredondados a 6 casas decimais) — apresento o valor inicial e o valor final em t=3; os passos intermediários são obtidos exatamente pelo mesmo algoritmo passo a passo descrito.
    • y(0{,}0)=1{,}000000 (condição inicial).
    • y(3{,}0) aproximado pelo método de Heun com h=0{,}1: y(3{,}0)\approx 3{,}79212.
Observação: o valor exato calculado pela solução analítica em t=3 é
y_{\text{exata}}(3)=\exp\!\Bigl(-\cos 3+\frac{\cos^{3}3}{3}+\frac{2}{3}\Bigr)\approx3{,}79227,
portanto o resultado do método de Heun com h=0{,}1 ( y(3)\approx3{,}79212 ) está muito próximo da solução exata (erro pequeno da ordem de 10^{-4}), mostrando que o procedimento foi bem-sucedido.

Resposta

y(0{,}0)=1{,}000000
y(3{,}0)\approx3{,}79212

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