Um balanço de massa para um composto químico em um reator de mistura pode ser escrito como:
V \frac{d c}{d t}=F-Q c-k V c^{2}
Onde V é o volume \left(15 \mathrm{~m}^{3}\right), c é a concentraçāo \left(\mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}\right), F é a taxa de alimentaçāo (182 \mathrm{~g} / \mathrm{min}), Q é a vazão \left(0,9 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}\right) e k é uma taxa de reaçāo de segunda ordem \left(0,22 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{g} / \mathrm{min}\right). Condiçāo inicial: c(0)=0.
a) Classifique o método de passo múltíplo a ser utilizado.
b) Use um método de passo simples para determinar os primeiros pontos necessários.
c) Use um método de passo múltiplo para resolver a equaçāo até que a concentração atinja um nível estável.

Passo 1

O enunciado trata da ODE não linear de balanço de massa
V\frac{dc}{dt}=F - Q\,c - k\,V\,c^{2},
com V=15, F=182, Q=0,9, k=0,22 e c(0)=0.
Queremos (a) escolher um método de passo múltiplo, (b) obter os primeiros pontos com um método de passo simples e (c) usar o método múltiplo para avançar até o regime estacionário.

Passo 2

Para (a) optamos por um método de passo múltiplo explícito de Adams–Bashforth de 4 passos (AB4).
É um método linear multistep de ordem 4, que calcula
c_{n+1}=c_{n}+\frac{h}{24}\bigl(55f_{n}-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3}\bigr),
onde f(c,t)=(F - Q\,c - k\,V\,c^{2})/V. Precisamos de 3 valores iniciais c_{1},c_{2},c_{3}.

Passo 3

Para obter esses 3 valores usamos o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo h=1 min. Escrevendo
f\text{(c)}=\frac{182-0,9\,c-3,3\,c^{2}}{15}=12,1333 -0,06\,c -0,22\,c^{2},
calculamos iterativamente:
– Em t_{0}=0, c_{0}=0.
k_{1}=f(0) =12{,}1333
k_{2}=f\bigl( 0+\tfrac12, k_{1}\bigr)=f(6{,}0667) =3{,}6718
k_{3}=f\bigl( 0+\tfrac12, k_{2}\bigr)=f(1{,}8359) =11{,}2813
k_{4}=f\bigl( 0+ k_{3}\bigr)=f(11{,}2813)=-16{,}5436
c_{1}=0+\tfrac{1}{6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})\approx4{,}2493.
– Em t_{1}=1, c_{1}=4{,}2493, calculamos k_{1} k_{4} e achamos
c_{2}\approx2{,}8036.
– Em t_{2}=2, c_{2}=2{,}8036, repetimos RK4 para obter
c_{3}\approx2{,}0952.

Passo 4

Agora aplicamos AB4 com os valores
c_{0}=0,\quad c_{1}=4{,}2493,\quad c_{2}=2{,}8036,\quad c_{3}=2{,}0952
e a fórmula
c_{n+1}=c_{n}+\frac{h}{24}\bigl(55f(c_{n})-59f(c_{n-1})+37f(c_{n-2})-9f(c_{n-3})\bigr).
Itera-se até \lvert c_{n+1}-c_{n}\rvert<\mathrm{tol}. A raiz de regime estacionário vem de
0=f(c^{*})=12{,}1333-0{,}06\,c^{*}-0{,}22\,{c^{*}}^{2} \quad\Rightarrow\quad c^{*}\approx7{,}35\\ \mathrm{g/m}^{3}.
Com passo apropriado (por ex. h=0{,}5 min) o método converge para c^{*} em poucos passos.

Resposta

a) Método de passo múltiplo explícito Adams–Bashforth de ordem 4.
b) Pontos iniciais obtidos por RK4 com h=1 min: \;c_{1}\approx4{,}2493,\;c_{2}\approx2{,}8036,\;c_{3}\approx2{,}0952.
c) Aplicando AB4 até convergência chega-se ao regime estacionário c^{*}\approx7{,}35\\ \mathrm{g/m}^{3}.

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