Determine a área da superfície.
A parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que se encontra entre o plano \mathrm{y}=x e o cilindro y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} delimitada entre o plano y=x e o cilindro y=x^{2}. O conteúdo é cálculo de área de superfície parametrizada por z=f(x,y) e vamos usar a fórmula
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.

Passo 2

Determinar a projeção D no plano xy: as curvas de fronteira são y=x e y=x^{2} que se intersectam em x^{2}=x, ou seja x=0 e x=1. Para cada x\in[0,1], y varia de y=x^{2} até y=x. Logo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le x\}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
f_x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\quad f_y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Assim
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} =\sqrt{1+\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} =\sqrt{2}.

Passo 4

A área vale
A=\iint_{D}\sqrt2\,dA =\sqrt2\iint_{D}dA =\sqrt2\cdot\text{Área}(D).Á
Calcular \text{Área}(D)Á por integração:
\text{Área}(D) =\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6}.Á

Resposta

A=\frac{\sqrt2}{6}

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